Chủ đề này có 1 trả lời

[Namthemaster1234]

Giải phương trình nghiệm nguyên $2^x+1=x^2y$

[lahantaithe99]

Giải phương trình nghiệm nguyên $2^x+1=x^2y$

 

Từ điều kiện đề bài ta có $x^2|2^{2x}-1$. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $x$ thì $p|2^{2x}-1$

 

Áp dụng định lý Fermat nhỏ thì $p|2^{p-1}-1$. Gọi $t$ là số nhỏ nhất sao cho $p|2^t-1$

 

Khi đó ta có ngay $t|2x$ và $t|p-1\rightarrow t<p$

 

Nếu $t$ có chứa ước nguyên tố lẻ nào đó ( hoặc $t$ nguyên tố) thì ước đó sẽ là ước của $x$ và nhỏ hơn $p$ ( vô lý do $p$ nhỏ nhất)

 

Do đó $t=2$ . Suy ra $p=3$

 

Đặt $x=3^k.v$ ( $(3,v)=1$) thì $3^{2k}|2^{3^kv}+1$

 

Khi đó theo bổ đề LTE: $v_3(2^{3^kv}+1)=1+k\geq 2k\Rightarrow k=1\rightarrow v^2|8^v+1$

 

+)  Nếu $v=1$ thì $n=3$ ( thỏa mãn )

 

+) Nếu $v\geq 2$ .Lại gọi $h$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $v$  và tương tự như trên, ta thu đc $h=7$

 

Do đó $7|8^v+1$ . Vô lý vì $8^v+1\equiv 2$ (mod $7$ )