Chủ đề này có 2 trả lời

[Supermath98]

CHo a,b,c dương. CMR 

$\large \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+b}{a+b}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 12-05-2015 - 21:13

[Nguyen Minh Hai]

CHo a,b,c dương. CMR 

$\large \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+b}{a+b}$

Giả sử: $c=min(a,b,c)$

BĐT $\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{ab}-\frac{1}{(a+c)(b+c)} \right )(a-b)^2+\left [ \frac{1}{ac}-\frac{1}{(a+c)(a+b)} \right ](a-c)(b-c) \geq 0$ 

[Nguyen Minh Hai]

CHo a,b,c dương. CMR 

$\large \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+b}{a+b}$

Viết lại:

$\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b} \leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Đặt: $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+1=2x & & & \\ \frac{b}{c}+1=2y & & & \\ \frac{c}{a}+1=2z & & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow xyz \geq \frac{(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)}{8}\geq 1$

BĐT cần chứng minh tương đương với $\sum(\frac{a}{b}-\frac{c+a}{c+b})\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{c(a-b)}{b(b+c)} \geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{\frac{a}{b}-1}{\frac{b}{c}+1} \geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2(x-1)}{2y} \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$           (*)

$AM-GM$ ta có: $\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{zx}{y^2}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz}{y^3}} \geq \frac{3}{y}$

thiết lập các BĐT tương tự ta có (*) đúng.

 Do đó bài toàn được chứng minh.