Chủ đề này có 2 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho X là một điểm nằm trên cạnh AB của hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua X song song với AD cắt AC tại M và cắt BD tại N. XD cắt AC tại P và XC cắt BD tại Q.

Chứng minh rằng $\frac{MP}{AC}+\frac{NQ}{BD}\geq \frac{1}{3}$

[Phung Quang Minh]

Cho X là một điểm nằm trên cạnh AB của hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua X song song với AD cắt AC tại M và cắt BD tại N. XD cắt AC tại P và XC cắt BD tại Q.

Chứng minh rằng $\frac{MP}{AC}+\frac{NQ}{BD}\geq \frac{1}{3}$

-Vì AX//DC => \[\frac{{AP}}{{PC}} = \frac{{AX}}{{DC}}\]  =>\[\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AX}}{{DC + AX}} = \frac{{AX}}{{2AX + BX}}\].

-Vì MX//BC => \[\frac{{CM}}{{CA}} = \frac{{BX}}{{BA}}\].

-Từ 2 điều trên => \[1 - \frac{{PM}}{{AC}} = \frac{{AX}}{{2AX + BX}} + \frac{{BX}}{{BA}}\].

                        => \[\frac{{PM}}{{AC}} = 1 - \frac{{AX}}{{2AX + BX}} - \frac{{BX}}{{BA}}\] =\[\frac{{AX}}{{AB}} - \frac{{AX}}{{2AX + BX}}\].

-Tương tự, ta có:  \[\frac{{NQ}}{{BD}} = \frac{{BX}}{{BA}} - \frac{{BX}}{{2BX + XA}}\].

=> \[\frac{{NQ}}{{BD}} + \frac{{PM}}{{AC}} = \frac{{BX + XA}}{{BA}} - \frac{{BX}}{{2BX + XA}} - \frac{{XA}}{{2AX + BX}} = 1 - \frac{{BX}}{{2BX + XA}} - \frac{{XA}}{{2AX + BX}}\] (1).

-Ta có: \[\frac{2}{3} \le \frac{{{{(BX + XA)}^2}}}{{{{(BX + XA)}^2} + 2AX.BX}} \le \frac{{BX}}{{2AX + BX}} + \frac{{AX}}{{2BX + AX}}\].

=> \[1 - \frac{{2AX}}{{2AX + BX}} + 1 - \frac{{2BX}}{{2BX + AX}} \ge \frac{2}{3}\].

=> \[\frac{{BX}}{{2BX + XA}} + \frac{{AX}}{{2AX + BX}} \le \frac{2}{3}\]     => \[1 - \frac{{BX}}{{2BX + XA}} - \frac{{AX}}{{2AX + BX}} \ge \frac{1}{3}\] (2).

-Từ (1);(2) => \[\frac{{NQ}}{{BD}} + \frac{{PM}}{{AC}} \ge \frac{1}{3}\].

[Thu Huyen 21]

Cho X là một điểm nằm trên cạnh AB của hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua X song song với AD cắt AC tại M và cắt BD tại N. XD cắt AC tại P và XC cắt BD tại Q.

Chứng minh rằng $\frac{MP}{AC}+\frac{NQ}{BD}\geq \frac{1}{3}$

Mình có cách giải khác:
Ta có: $\frac{AP}{AC}=\frac{AX}{AX+AB}$; $\frac{MC}{AC}=\frac{XB}{AB}$
Suy ra: $\frac{MP}{AC}=1-\frac{AP}{AC}-\frac{MC}{AC}=1-\frac{BX}{AB}-\frac{AX}{AX+AB}=\frac{AX}{AB}-\frac{AX}{AX+AB}$

$=AX.(\frac{1}{AB}-\frac{1}{AX+AB})= \frac{AX^{2}}{AB(AX+AB)}$

Tương tự có: $\frac{NQ}{BD}=\frac{BX^{2}}{(BX+AB)AB}$

$\Rightarrow \frac{MP}{AC}+\frac{NQ}{BD}=\frac{AX^{2}}{AB(AX+AB)}+\frac{BX^{2}}{AB(BX+AB)}\geq \frac{(AX+BX)^{2}}{2AB^{2}+(AX+BX)AB}=\frac{AB^{2}}{3AB^{2}}=\frac{1}{3}$
Dấu bằng xảy ra khi X là trung điểm AB

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 15-05-2015 - 11:01