Bài toán (Putnam 2009). Gọi $\mathbb{P}$ là tập hợp các điểm trên mặt phẳng , $f:\mathbb{P}\rightarrow \mathbb{R}$ là một hàm số nhận giá trị thực thỏa mãn $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0$, với mọi hình vuông ABCD .
Chứng minh rằng f(P)=0 với mọi P
Lời giải. Gọi P là một điểm bất kỳ thuộc $\mathbb{P}$. Gọi ABCD là hình vuông nhận P làm tâm . Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB ,BC,CD,DA.
Từ điều kiện đề bài ta có
0=f(A)+f(B)+f(C)+f(D)
0=f(E)+f(F)+f(G)+f(H)
0=f(A)+f(E)+f(P)+f(H)
0=f(B)+f(F)+f(P)+f(E)
0=f(C)+f(G)+f(P)+f(F)
0=f(D)+f(H)+f(P)+f(G)
Cộng bồn đẳng thức cuối kết hợp với hai đẳng thức đầu ta có ngay kết quả
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 13-05-2015 - 21:24
