3 replies to this topic

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Cho a,b,c$\epsilon R$

$CMR:(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq (ab+bc+ca-1)^{2}$

[ducvipdh12]

Từ giả thiết ta cần chứng minh: $\sum a^2+(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+1+a^2b^2c^2\geq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+1+2abc(a+b+c)-2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (a+b+c)^2+a^2b^2c^2\geq 2abc(a+b+c)$

Đúng với BĐT Cosi

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Đây là cách làm của mình:Áp dụng BĐT Cauchy-Schwars dạng engel có

$\frac{(ab+bc+ca-1)^{2}}{a^{2}+1}\leq \frac{(ab+ac)^{2}}{a^{2}}+\frac{(bc-1^{2})}{1}= (b^{2}+1)(c^{2}+1)$

Quy đồng lên ta được điều phải chứng minh

Edited by Issac Newton of Ngoc Tao, 15-05-2015 - 10:08.

[chungtoiladantoan99]

Sử dụng BĐT Cauchy-Swcharz ta có:

$VP^2= [a(b+c)+(bc-1)]^2\leq (a^2+1)[(b+c)^2+(bc-1)^2]$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $(b+c)^2+(bc-1)^2\leq (b^2+1)(c^2+1)$

Nhưng đây lại là hằng đẳng thức. 

Dấu bằng xảy ra khi $a+b+c=abc$

Đpcm