Bài 177: (USAMO 2003) Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
P=$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$.
Second Solution:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{(2+\frac{b+c}{a})^2}{2+(\frac{b+c}{a})^2}\leq 8$
Đặt$\left\{\begin{matrix} \frac{b+c}{a}=x\\ \frac{c+a}{b}=y \\ \frac{a+b}{c}=z\end{matrix}\right.$.Khi đó ta có:xyz=x+y+z+2
Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
P=$\sum \frac{(2+x)^2}{2+x^2}\leq 8\Leftrightarrow \sum \frac{(x-1)^2}{x^2+2}\geq \frac{1}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
P$P\geq \frac{(x+y+z-3)^2}{x^2+y^2+z^2+g}$
Cuối cùng ta cần chứng minh:
$2(x+y+z-3)^2\geq x^2+y^2+z^2+6\Leftrightarrow 2(x+y+z-3)^2\geq (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+6$
Mặt khác dễ dàng chỉ ra được $xyz\geq 8$.Từ đó ta được;$xy+yz+zx\geq 12,x+y+z\geq 6$
Đặt x+y+z=t thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$2(t-3)^2\geq t^2-18\Leftrightarrow (t-3)(t-6)\geq 0$(luôn đúng)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c