Chủ đề này có 6 trả lời

[thang131199]

cho a ,b,c >o

$\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2} + \frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$

[ducvipdh12]

Điều kiện phải là $x,y\geq 1$ chứ nhỉ

ta có: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2(1+y^2)}\geq \frac{1}{1+xy}$

[dogsteven]

Biến đổi tương đương ta được: $(xy-1)^2+xy(x-y)^2\geqslant 0$ luôn đúng

[longatk08]

Áp dụng C-S: $(1+xy)(1+\frac{y}{x})\geq (1+y)^2$

[hoctrocuaHolmes]

cho a ,b,c >o

$\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2} + \frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$

Mình nghĩ là phải có điều kiện $x,y\geq 1$

Ta có

$\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2} + \frac{1}{(1+y)^2}=\frac{(1+x)^{2}+(1+y)^{2}}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}}\geq \frac{2(1+x)(1+y)}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}}=\frac{2}{(1+x)(1+y)}$   $(*)$

Vậy ta cần cm 

$\frac{2}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{1}{1+xy}\Leftrightarrow 2+2xy\geq 1+x+y+xy\Leftrightarrow 1+xy-x-y\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$ (luôn đúng vì  $x,y\geq 1$)          $(**)$

Từ $(*)(**)$ ta suy ra $đpcm$

[thang131199]

Áp dụng C-S: $(1+xy)(1+\frac{y}{x})\geq (1+y)^2$

cảm ơn ,cách của đại ca rất hay

[thang131199]

Mình nghĩ là phải có điều kiện $x,y\geq 1$

Ta có

$\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2} + \frac{1}{(1+y)^2}=\frac{(1+x)^{2}+(1+y)^{2}}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}}\geq \frac{2(1+x)(1+y)}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}}=\frac{2}{(1+x)(1+y)}$   $(*)$

Vậy ta cần cm 

$\frac{2}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{1}{1+xy}\Leftrightarrow 2+2xy\geq 1+x+y+xy\Leftrightarrow 1+xy-x-y\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$ (luôn đúng vì  $x,y\geq 1$)          $(**)$

Từ $(*)(**)$ ta suy ra $đpcm$

mình cũng đă từng nghĩ đến cách này nhưng ko đc,cảm ơn bạn