Chủ đề này có 4 trả lời

[Nhok Tung]

Cho a,b,c không âm, thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh $\left ( a-1 \right )^{3}+\left ( b-1 \right )^{3}+\left ( c-1 \right )^{3}\geq -\frac{3}{4}$

[25 minutes]

Cho a,b,c không âm, thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh $\left ( a-1 \right )^{3}+\left ( b-1 \right )^{3}+\left ( c-1 \right )^{3}\geq -\frac{3}{4}$

Đặt $a-1=x, b-1=y,z-1=c$, bất đẳng thức tương đương với

Chứng minh $x^3+y^3+z^3\geqslant \frac{-3}{4}$ với $x+y+z=0, x,y,z \geqslant -1$

Theo Dirichle thì phải có $2$ số hoặc cùng âm hoặc cùng dương, giả sử đó là $x,y$

TH1: $x,y>0$

Khi đó ta cần chứng minh $x^3+y^3+z^3=3xyz\geqslant \frac{-3}{4}$

                 $\Leftrightarrow -xy(x+y)\geqslant \frac{1}{4}$

                 $\Leftrightarrow \frac{1}{4}\geqslant xy(x+y)$

Do $z \geqslant -1$, nên $x+y \leqslant 1$, khi đó $xy(x+y)\leqslant \frac{(x+y)^3}{4}\leqslant \frac{1}{4}$

 TH2: $x,y<0$, khi đó dễ thấy $xy(x+y)<0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0)$

[tonarinototoro]

Cho a,b,c không âm, thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh $\left ( a-1 \right )^{3}+\left ( b-1 \right )^{3}+\left ( c-1 \right )^{3}\geq -\frac{3}{4}$

Ta cm bđt phụ với  $x+y\geq 0$ thì $x^{3}+y^{3}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{3}}{4}$ (*)

BĐT (*) $\Leftrightarrow 3\left ( x+y \right )\left ( x-y \right )^{2}\geq 0$ luôn đúng với $x+y\geq 0$ 

Giả sử  $a=min\left \{ a;b;c \right \}\Rightarrow a\leq 1;b+c\geq 2\rightarrow \left ( b-1 \right )+\left ( c-1 \right )\geq 0$

Áp dụng bđt (*) có $\left ( a-1 \right )^{3}+\left ( b-1 \right )^{3}+\left ( c-1 \right )^{3}\geq \left ( a-1 \right )^{3}+\frac{\left ( b-1+c-1 \right )^{3}}{4}=-\left ( 1-a \right )^{3}+\frac{\left ( 1-a \right )^{3}}{4}=\frac{-3}{4}\left ( 1-a \right )^{3}$ ($a+b+c=3$)

Ta chỉ cần cm $\left ( 1-a \right )^{3}\leq 1\rightarrow$ bđt này luôn đúng với mọi $a\geq 0$

Vậy bài toán được cm xong. Đẳng thức xảy ra khi $(a;b;c)=(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2})$ và các hoán vị 

[Lee LOng]

Ta có:

BĐT$\Leftrightarrow \sum a^{3}-3\sum a^{2}+3(a+b+c)-3+\frac{3}{4}\geq 0\Leftrightarrow \sum a(a-\frac{3}{2})^{2}\geq 0$

$\Rightarrow Đpcm$

[Nhok Tung]

 

Ta có:

BĐT$\Leftrightarrow \sum a^{3}-3\sum a^{2}+3(a+b+c)-3+\frac{3}{4}\geq 0\Leftrightarrow \sum a(a-\frac{3}{2})^{2}\geq 0$

$\Rightarrow Đpcm$

 

Cách này ngắn gọn