Chủ đề này có 1 trả lời

[congdaoduy9a]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$.Tìm MAX của bt :

$A=\frac{a^{2}}{a^{2}+bc+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+ca+1}+\sqrt{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 17-05-2015 - 04:56

[ZzNightWalkerZz]

Hình như đề bài chưa đúng, với $c$ càng lớn thì A càng nhỏ. Đã giải được với a,b,c không âm.

Ta có : $\frac{a^{2}}{a^{2} + bc + 1} = \frac{2a^{2}}{2(a^{2} + bc + 1)} = \frac{2a^{2}}{2a^{2} + 2bc +  a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

 $= \frac{2a^{2}}{3a^{2} + (b + c)^{2}} \leq \frac{2a^{2}}{2a^{2} + 2a(b + c)} = \frac{a}{a + b + c}$

$=> A \leq \frac{a + b}{a + b + c} + \sqrt{a + b} \leq 1 + \sqrt{a + b}$ (Do $c \geq 0$)

$a + b \leq \sqrt{2(a^{2} + b^{2})} \leq \sqrt{4} = 2$

$=> A \leq 1 + \sqrt{2}$