Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoangphan]

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác, $p$ là nửa chu vi. CMR:

$4(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})\leq \frac{b+c}{\sqrt{p-a}}+\frac{c+a}{\sqrt{p-b}}+\frac{a+b}{\sqrt{p-c}}$

[ducvipdh12]

Đặt $x=\sqrt{p-a},y=\sqrt{p-b},z=\sqrt{p-c}\rightarrow x^2+y^2=c,y^2+z^2=a,x^2+z^2=b$ thay vào rồi dùng Cosi là ra

[ZzNightWalkerZz]

Đặt $p - a = x; p - b = y; p - c = z$

Dễ dàng chứng minh : $b + c = (x + y + z) + x$

$=> \frac{b + c}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x + y + z}{\sqrt{x}}$

$=> \frac{b + c}{\sqrt{x}} + \frac{c + a}{\sqrt{y}} +\frac{a + b}{\sqrt{z}} = (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{x}) + (x + y + z)(\frac{1}{\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{y}} +\frac{1}{\sqrt{z}})$

Mà $3(x + y + z) \geq (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^{2}$

$=> \frac{b + c}{\sqrt{x}} + \frac{c + a}{\sqrt{y}} +\frac{a + b}{\sqrt{z}} \geq (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}) + \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^{2}}{3}(\frac{1}{\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{y}} +\frac{1}{\sqrt{z}})$

$\geq (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}) + 3(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}) = 4(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})$

(Do $(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})(\frac{1}{\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{y}} +\frac{1}{\sqrt{z}}) \geq 9)$