Chủ đề này có 1 trả lời

[padpro123]

Cho tứ giác ABCD

$E\epsilon AB$

$G\epsilon DC$

Biết EG//AD

$EG \cap AC=F$

$EG\cap BD=H$

Chứng minh rằng: $\frac{EF}{HG}=\frac{S(BCFE)}{S(BCGH)}$

[Phung Quang Minh]

Cho tứ giác ABCD

$E\epsilon AB$

$G\epsilon DC$

Biết EG//AD

$EG \cap AC=F$

$EG\cap BD=H$

Chứng minh rằng: $\frac{EF}{HG}=\frac{S(BCFE)}{S(BCGH)}$

-Kẻ \[BI//EG;BI \cap AC = \left\{ K \right\}\].

-Vì \[EF//BK =  > \frac{{EF}}{{BK}} = \frac{{AE}}{{AB}}\].

-Vì \[AD//EG//BI =  > \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{DG}}{{DI}}\].

-Vì \[GH//BI =  > \frac{{DG}}{{DI}} = \frac{{HG}}{{BI}}\].

=> \[\frac{{FE}}{{HG}} = \frac{{BK}}{{BI}}\] (1).

-Vì \[BI//AD =  > S(ABK) = S(DBK) =  > \frac{{S(ABK)}}{{S(DBI)}} = \frac{{S(DBK)}}{{S(DBI)}} = \frac{{BK}}{{BI}}\].

-Và có: \[\frac{{S(BKC)}}{{S(BIC)}} = \frac{{BK}}{{BI}} = \frac{{S(ABK)}}{{S(DBI)}} = \frac{{S(BKC) + S(ABK)}}{{S(BIC) + S(DBI)}} = \frac{{S(ABC)}}{{S(DBC)}}\] (2).

-Từ (1);(2) => \[\frac{{FE}}{{HG}} = \frac{{S(ABC)}}{{S(DBC)}}\].

-Ta lại có: \[\frac{{FE}}{{HG}} = \frac{{S(AFE)}}{{S(DHG)}} = \frac{{S(ABC)}}{{S(DBC)}} = \frac{{S(ABC) - S({\rm{AF}}E)}}{{S(DBC) - S(DHG)}} = \frac{{S(FEBC)}}{{S(HBCG)}}\].

 Vậy đpcm.