Phương trình $m(p^{2l-1}(mn+1)^2+m)=a^2(a\in \mathbb{N}^*)$
TH1 :$gcd(m,p^{2l-1}(mn+1)^2+m)=1$ thì hiển nhiên $m$ là số chính phương
TH2 :$gcd(m,p^{2l-1}(mn+1)^2+m)=d$ ( $d>1$) thì $d|p^{2l-1}\rightarrow d=p^k$ ( $k\leq 2l-1$)
Lúc đó đặt $m=p^k.t$. Dễ thấy $(t,p)=1$
Phương trình trở thành $t(p^{2l-1-k}(mn+1)^2+t)=u^2$ ( $up^k=a$) có $(t,p^{2l-1-k}(mn+1)^2+t)=1$ nên $\left\{\begin{matrix} t=x^2 & \\ p^{2l-1-k}(mn+1)^2+t=y^2 & \end{matrix}\right.$
Để kết thúc bài toán thì ta cần chứng minh $k$ chẵn. Giả sử $k$ lẻ thì $2l-1-k$ chẵn . Đặt $2l-1-k=2u$ thì
$[p^u(mn+1)^2]+x^2=y^2$ là số chính phương
Mà $[p^u(mn+1)]^2<[p^u(mn+1)]^2+x^2=[p^u(mn+1)]^2+\frac{m}{p^k}<[p^u(mn+1)+1]^2$ nên điều trên vô lí
Vậy $k$ chẵn. Do đó $m=p^kx^2$ là số chính phương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 02-06-2015 - 23:31