5 replies to this topic

[nguyenhongsonk612]

Cho các số $a,b,c$ thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm GTLN của biểu thức sau

                                                   $M=(a+b+c+3)\begin{pmatrix} \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} \end{pmatrix}$

Edited by nguyenhongsonk612, 19-05-2015 - 13:00.

[tonarinototoro]

đặt $\left ( a+1;b+1;c+1 \right )\rightarrow \left ( x;y;z \right )$

bài toán đã cho trở thành: cho x,y,z tm  $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$. tìm max $P= \sum x\sum \frac{1}{x}$

đây là 1 bài toán quen thuộc, giải như sau

$M=3+ \frac{x}{y} +\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$

$1\leq x\leq y\leq z\leq 2$$\Rightarrow \left ( 1-\frac{x}{y} \right )\left ( 1-\frac{y}{z} \right )\geq 0\Leftrightarrow 1+\frac{x}{z}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}$

tương tự có  $\left ( 1-\frac{y}{x} \right )\left ( 1-\frac{z}{x} \right )\geq 0\Leftrightarrow 1+\frac{y}{x}\geq \frac{y}{x}+\frac{z}{x}$

cộng 2 bđt trên lại có  $ 2+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\geq\frac{ x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}$

$\Rightarrow P\leq 5+2\left ( \frac{x}{z} +\frac{z}{x}\right )$

do $x,y,z\in \left [ 1;2 \right ]\rightarrow \left ( 2-\frac{x}{z} \right )\left ( 2-\frac{z}{x} \right )\geq 0\rightarrow 2\left ( \frac{x}{z} +\frac{z}{x}\right )\leq 5$

$\Rightarrow P\leq 10$

$P_{max}=10\Leftrightarrow (x;y;z)=(1;1;2),(1;2;2)\Leftrightarrow (a;b;c)=(0;0;1),(0;1;1)$

Edited by tonarinototoro, 19-05-2015 - 16:56.

[nguyenhongsonk612]

đặt $\left ( a+1;b+1;c+1 \right )\rightarrow \left ( x;y;z \right )$

bài toán đã cho trở thành: cho x,y,z tm  $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$. tìm max $P= \sum x\sum \frac{1}{x}$

đây là 1 bài toán quen thuộc, giải như sau

$M=3+ \frac{x}{y} +\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$

$1\leq x\leq y\leq z\leq 2$$\Rightarrow \left ( 1-\frac{x}{y} \right )\left ( 1-\frac{y}{z} \right )\geq 0\Leftrightarrow 1+\frac{x}{z}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}$

tương tự có  $\left ( 1-\frac{y}{x} \right )\left ( 1-\frac{z}{x} \right )\geq 0\Leftrightarrow 1+\frac{y}{x}\geq \frac{y}{x}+\frac{z}{x}$

cộng 2 bđt trên lại có  $ 2+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\geq\frac{ x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}$

$\Rightarrow P\leq 5+2\left ( \frac{x}{z} +\frac{z}{x}\right )$

do $x,y,z\in \left [ 1;2 \right ]\rightarrow \left ( 2-\frac{x}{z} \right )\left ( 2-\frac{z}{x} \right )\geq 0\rightarrow 2\left ( \frac{x}{z} +\frac{z}{x}\right )\leq 5$

$\Rightarrow P\leq 10$

$P_{max}=10\Leftrightarrow x=y=1,z=2\Leftrightarrow a=b=0,c=1$

Mình còn $1$ cách nữa, đang tìm cách đẹp hơn, tìm được cách của bạn khá đẹp

 

Cho các số $a,b,c$ thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm GTLN của biểu thức sau

                                                   $M=(a+b+c+3)\begin{pmatrix} \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} \end{pmatrix}$

Lời giải

Đặt $a+1=x;b+1=y;c+1=z$ $\Rightarrow 1\leq x\leq y\leq z\leq 2$

$\Rightarrow M=(x+y+z)\begin{pmatrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \end{pmatrix}$

Ta sẽ chứng minh $M\leq 10$ $\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)-10xyz\leq 0$ 

Đến đây ta sử dụng tính chất sau của hàm bậc $2$

Với $f(x)=ax^2+bx+c$ và $x\in [1;2]$ thì $f(x)\leq \max (f(x_1);f(x_2))$

Gọi $f(x)$ là VT của BĐT cần C/m thì nó là hàm bậc $2$, lại có $x\in [1;2]$

$\Rightarrow$ Để $f(x) \max $ thì $x=1$ hoặc $x=2$

Tương tự $f(y);f(z)$ ta cũng chỉ xét $y=1$ hoặc $y=2$, $z=1$ hoặc $z=2$

ta chỉ cần xét các TH sau

+) Cả ba số bằng $1$ hoặc bằng $2$

+) $x=1;y=z=2$

+) $x=y=1;z=2$

Thay vào BĐT cần C/m ta thấy đúng

Vậy ta có đpcm

$\Rightarrow \max M=10$ $\Leftrightarrow (x;y;z)=(1;1;2);(1;2;2)\Leftrightarrow (a;b;c)=(0;0;1);(0;1;1)$ 

Edited by nguyenhongsonk612, 19-05-2015 - 23:00.

[Nhok Tung]

Cách này phải biết được M $\leq$ 10

[binhnhaukhong]

Mình chỉ xét bài toán nhỏ:

Với $a,b,c\in \left [ 1 ,2\right ]$ ta hoàn toàn có thể suy biến $a,b,c$ thành 3 cạnh của tam giác khi đó ta đặt:

$a=y+z,b=z+x,c=x+y$.Ta sẽ đi chứng minh:

$\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}\leq 2$

Chú ý rằng ta có:

$\frac{z}{y+z}\leq \frac{x+z}{x+y+z},\frac{x}{x+z}\leq \frac{x+y}{x+y+z},\frac{y}{x+y}\leq \frac{z+y}{x+y+z}$

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có đpcm

[tonarinototoro]

$\Rightarrow \max M=10$ $\Leftrightarrow (x;y;z)=(1;1;2)$ và các hoán vị $\Leftrightarrow (a;b;c)=(0;0;1)$ và các hoán vị

dấu "=" còn xảy ra tại $x=1,y=z=2\Leftrightarrow a=0,b=c=1$ nữa 

với lại gt đã cho là $a\leq b\leq c$ nên không có các hoán vị nữa đâu