Chủ đề này có 4 trả lời

[arsfanfc]

Cho $a,b,c >0$ CM $ \sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2} \leq \frac{6}{5}$

[Avengers98]

Cho $a,b,c >0$ CM $ \sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2} \leq \frac{6}{5}$

không mất tính tổng quát ta có : $a+b+c=3$

viết lại ta có: $\sum\frac{a(3-a)}{(3-a)^2+a^2}$

ta cần chứng minh $\frac{(3-a)a}{(3-a)^2+a^2}\leq\frac{9}{25}a+\frac{1}{25}$

ta chứng minh bất đẳng thức trên:

chuyển vế và quy đồng ta được:

$\frac{-9(a-1)^2(2a+1)}{25(2a^2-6a+9}\leq 0$

từ đó ta có:$\sum\frac{a(3-a)}{(3-a)^2+a^2}\leq\frac{9}{25}(a+b+c)+3\frac{1}{25}=\frac{6}{5}$

=>đccm Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Avengers98: 20-05-2015 - 17:03

[khanghaxuan]

Thêm một cách nữa  

Ta có : $25(a^{2}+b^{2}+c^{2})(b+c-a)^{2}-(a^{2}+(b+c)^{2})(7a^{2}+4b^{2}+4c^{2}+40bc-20ca-20ab)=\frac{(b+c-2a)^{2}(b+c-3a)^{2}}{2}+\frac{(b-c)^{2}}{2}(41a^{2}-50a(b+c)+41(b+c)^{2})$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta có ĐPCM

[longatk08]

Thêm một cách nữa

Ta có : $25(a^{2}+b^{2}+c^{2})(b+c-a)^{2}-(a^{2}+(b+c)^{2})(7a^{2}+4b^{2}+4c^{2}+40bc-20ca-20ab)=\frac{(b+c-2a)^{2}(b+c-3a)^{2}}{2}+\frac{(b-c)^{2}}{2}(41a^{2}-50a(b+c)+41(b+c)^{2})$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta có ĐPCM

Bạn kiên nhẫn nhỉ cách này kinh dị quá

[the man]

Cho $a,b,c >0$ CM $ \sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2} \leq \frac{6}{5}$

Áp dụng AM-GM:

$(b+c)^2+a^2=\frac{(b+c)^2}{4}+a^2+\frac{3}{4}(a+b)^2 \geq a(b+c)+\frac{3}{4}(a+b)^2$

$\Rightarrow \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\leq \frac{4a(b+c)}{4a(b+c)+3(a+b)^2}=1-\frac{3(a+b)^2}{4a(b+c)+3(a+b)^2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\leq 3-3\sum \frac{(a+b)^2}{4a(b+c)+3(a+b)^2}$  

Áp dụng Svac-xơ:

$\sum \frac{(a+b)^2}{4a(b+c)+3(a+b)^2}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{6\sum a^2+14\sum ab}=\frac{2(a+b+c)^2}{3\sum a^2+7\sum ab}$

$\Rightarrow \sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\leq 3-6.\frac{(a+b+c)^2}{3\sum a^2+7\sum ab}$

Ta cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^2}{3\sum a^2+7\sum ab}\geq \frac{3}{10}$

                                $\Leftrightarrow 10\sum a^2+20\sum ab\geq 9\sum a^2+21\sum ab$

                                 $\Leftrightarrow \sum a^2\geq \sum ab$  (luôn đúng)

BĐT được chứng minh