Chủ đề này có 2 trả lời

[ZzNightWalkerZz]

Cho $x_i \geq 1(i = 1, 2,...,n).$ CMR $\sum\frac{1}{x_i^n+1}\geq\frac{n}{\prod x_i + 1}$

Tổng quát hóa từ http://diendantoanho...1geq-frac31xyz/

Đã 2 ngày và chưa ai làm được (hoặc không thèm làm ?)     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 22-05-2015 - 20:27

[hoanglong2k]

Cho $x_i \geq 1(i = 1, 2,...,n).$ CMR $\sum\frac{1}{x_i^n+1}\geq\frac{n}{\prod x_i + 1}$

Tổng quát hóa từ http://diendantoanho...1geq-frac31xyz/

Đã 2 ngày và chưa ai làm được (hoặc không thèm làm ?)     

 Xét hàm $f(x)=\frac{1}{x^n+1}$

 Ta dễ dàng chứng minh được với $n=2$ và $n=3$

 Khi đó, theo bất đẳng thức Jensen ta có :

 $f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)\geq n.f(\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})$

 ĐPCM

[dogsteven]

 Xét hàm $f(x)=\frac{1}{x^n+1}$

 Ta dễ dàng chứng minh được với $n=2$ và $n=3$

 Khi đó, theo bất đẳng thức Jensen ta có :

 $f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)\geq n.f(\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})$

 ĐPCM

Xét hàm $f(x)=\dfrac{1}{e^{x}+1}$ lồi trên $[0, +\infty)$

Khi đó theo bất đẳng thức Jensen ta có: $f(n\ln x_1)+f(n\ln x_2)+...+f(n\ln x_n)\geqslant nf\left(\ln x_1+\ln x_2+...+\ln x_n\right)$

Đây chính là bất đẳng thức cần chứng minh.

Còn cách trên không phải là dùng bất đẳng thức Jensen, nếu muốn dùng cái đỏ thì hoặc quy nạp Cauchy

- Đúng với $n=2$ và nếu bất đẳng thức đúng với $n$ thì bất đẳng thức đúng với $2n$ nên bất đẳng thức đúng với mọi $n=2^k$

- Bất đẳng thức đúng với $n+1$ thì cũng đúng với $n$

hoặc là dồn biến mạnh (S.M.V được thì Limit cũng được)