Cho $x_i \geq 1(i = 1, 2,...,n).$ CMR $\sum\frac{1}{x_i^n+1}\geq\frac{n}{\prod x_i + 1}$
Tổng quát hóa từ http://diendantoanho...1geq-frac31xyz/
Đã 2 ngày và chưa ai làm được (hoặc không thèm làm ?)
Edited by ZzNightWalkerZz, 22-05-2015 - 20:27.
Cho $x_i \geq 1(i = 1, 2,...,n).$ CMR $\sum\frac{1}{x_i^n+1}\geq\frac{n}{\prod x_i + 1}$
Tổng quát hóa từ http://diendantoanho...1geq-frac31xyz/
Đã 2 ngày và chưa ai làm được (hoặc không thèm làm ?)
Edited by ZzNightWalkerZz, 22-05-2015 - 20:27.
.
Reaper
.
.
The god of carnage
Cho $x_i \geq 1(i = 1, 2,...,n).$ CMR $\sum\frac{1}{x_i^n+1}\geq\frac{n}{\prod x_i + 1}$
Tổng quát hóa từ http://diendantoanho...1geq-frac31xyz/
Đã 2 ngày và chưa ai làm được (hoặc không thèm làm ?)
Xét hàm $f(x)=\frac{1}{x^n+1}$
Ta dễ dàng chứng minh được với $n=2$ và $n=3$
Khi đó, theo bất đẳng thức Jensen ta có :
$f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)\geq n.f(\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})$
ĐPCM
Xét hàm $f(x)=\frac{1}{x^n+1}$
Ta dễ dàng chứng minh được với $n=2$ và $n=3$
Khi đó, theo bất đẳng thức Jensen ta có :
$f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)\geq n.f(\sqrt[n]{x_1x_2...x_n})$
ĐPCM
Xét hàm $f(x)=\dfrac{1}{e^{x}+1}$ lồi trên $[0, +\infty)$
Khi đó theo bất đẳng thức Jensen ta có: $f(n\ln x_1)+f(n\ln x_2)+...+f(n\ln x_n)\geqslant nf\left(\ln x_1+\ln x_2+...+\ln x_n\right)$
Đây chính là bất đẳng thức cần chứng minh.
Còn cách trên không phải là dùng bất đẳng thức Jensen, nếu muốn dùng cái đỏ thì hoặc quy nạp Cauchy
- Đúng với $n=2$ và nếu bất đẳng thức đúng với $n$ thì bất đẳng thức đúng với $2n$ nên bất đẳng thức đúng với mọi $n=2^k$
- Bất đẳng thức đúng với $n+1$ thì cũng đúng với $n$
hoặc là dồn biến mạnh (S.M.V được thì Limit cũng được)
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users