Chủ đề này có 4 trả lời

[AlbertEinstein9927]

$1.$cho $x,y,z \in R^+$ và $x+y \le z$, chứng minh $(x^2+y^2+z^2)(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}) \ge \frac{27}{2}$

$2.$ cho $x,y>0$

tìm $min_S=\dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{(x+y)^2}{xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AlbertEinstein9927: 22-05-2015 - 23:43

[Hoang Nhat Tuan]

$2.$ cho $x,y>0$

tìm $min_S=\dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{(x+y)^2}{xy}$

Ta có: $S=(x+y)^2(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy})+\frac{(x+y)^2}{2xy}\geq 4+\frac{(x+y)^2}{\frac{1}{2}(x+y)^2}=6$

[khanghaxuan]

Câu 1 :
$VT=(x^{2}+y^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}}+z^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+1$

$=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{16(x^{2}+y^{2})}{z^{2}}+z^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+1-\frac{15(x^{2}+y^{2})}{z^{2}}$

$\geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}}+8\sqrt{(x^{2}+y^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})}+1-15\frac{x^{2}+y^{2}}{(x+y)^{2}}$

$\geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{17}{4}.\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+1\geq 4+1+\frac{17}{4}.2=\frac{27}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 23-05-2015 - 09:36

[AlbertEinstein9927]

Câu 1 :
$VT=(x^{2}+y^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}}+z^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+1$

$=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{16(x^{2}+y^{2})}{z^{2}}+z^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+1-\frac{15(x^{2}+y^{2})}{z^{2}}$

$\geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}}+8\sqrt{(x^{2}+y^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})}+1-15\frac{x^{2}+y^{2}}{(x+y)^{2}}$

$=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{17}{4}.\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+1\geq 4+1+\frac{17}{4}.2=\frac{27}{2}$

dấu $\ge$ chứ ạ 

[Hoang Nhat Tuan]

$1.$cho $x,y,z \in R^+$ và $x+y \le z$, chứng minh $(x^2+y^2+z^2)(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}) \ge \frac{27}{2}$

$2.$ cho $x,y>0$

tìm $min_S=\dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{(x+y)^2}{xy}$

1. Ta có: $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$

Và $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$

Cần chứng minh $5+\frac{8z^2}{(x+y)^2}+\frac{(x+y)^2}{2z^2}\geq \frac{27}{2}<=>\frac{z^2}{2(x+y)^2}+\frac{(x+y)^2}{2z^2}+\frac{15z^2}{2(x+y)^2}\geq \frac{17}{2}$

Sử dụng BĐT Cauchy kết hợp giả thiết => ĐPCM