Chủ đề này có 5 trả lời

[dogsteven]

Bài toán 1. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=9$. Chứng minh rằng: $2(x+y+z)-xyz\leqslant 10$

Bài toán 2. Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng: $\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}+\sqrt{z(x+1)}\leqslant \dfrac{3}{2}\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)}$

P.s. Dùng kỹ thuật phân chia trường hợp

[chungtoiladantoan99]

bài 2:

áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz ta có:

$\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}\leq \sqrt{(x+1)[(y+1)+y(z+1)]}$

do đó chỉ cần chứng minh $\sqrt{y(z+2)+1}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(y+1)(z+1)}$

theo Cauchy-Swcharz ta có:

$VT\leq \sqrt{[(y(z+2)+1)+(z+1)](1+\frac{z}{z+1})}= \sqrt{\frac{(y+1)(z+2)(2z+1)}{z+1}}$

cuối cùng chỉ cần chứng minh $\sqrt{\frac{(z+2)(2z+1)}{z+1}}\leq \frac{3}{2}\sqrt{z+1}$

hay $4(z+2)(2z+1)\leq 9(z+1)^2$

BĐT này đúng bởi theo AM-GM ta có: $VT\leq (z+2+2z+1)^2=9(z+1)^2$

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

[dogsteven]

bài 2:

áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz ta có:

$\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}\leq \sqrt{(x+1)[(y+1)+y(z+1)]}$

do đó chỉ cần chứng minh $\sqrt{y(z+2)+1}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(y+1)(z+1)}$

theo Cauchy-Swcharz ta có:

$VT\leq \sqrt{[(y(z+2)+1)+(z+1)](1+\frac{z}{z+1})}= \sqrt{\frac{(y+1)(z+2)(2z+1)}{z+1}}$

cuối cùng chỉ cần chứng minh $\sqrt{\frac{(z+2)(2z+1)}{z+1}}\leq \frac{3}{2}\sqrt{z+1}$

hay $4(z+2)(2z+1)\leq 9(z+1)^2$

BĐT này đúng bởi theo AM-GM ta có: $VT\leq (z+2+2z+1)^2=9(z+1)^2$

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

Em xin nhắc lại: "Dùng kỹ thuật phân tách trường hợp"

P/s. Đối với bài này thì phân tách trường hợp đưa ra một lời giải còn đẹp hơn cả lời giải này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 24-05-2015 - 10:27

[dogsteven]

Bài 1.

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$

Nếu $x\leqslant 0$ thì $2(x+y+z)\leqslant 0$ còn $10+xyz\geqslant 10-3\sqrt{3}>0$

Nếu $x\geqslant 0\geqslant y\geqslant z$ thì $2(x+y+z)\leqslant 2x\leqslant 6<10\leqslant 10+xyz$

Nếu $x\geqslant y\geqslant 0\geqslant z$ thì

$(x^2+y^2+z^2)(4+4+1)\geqslant (2x+2y-z)^2$ nên $2(x+y+z)\leqslant 9+3z=\dfrac{(z-2)(z+1)^2}{2}+10+z\dfrac{x^2+y^2}{2}\leqslant 10+xyz$

Nếu $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ thì $2(x+y+z)\leqslant 9+z$

+ $z\leqslant 1$ thì $9+z\leqslant 10\leqslant 10+xyz$

+ $z\geqslant 1\Rightarrow x,y,z\geqslant 1\Rightarrow 9+z<10+xyz$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 26-05-2015 - 13:57

[dogsteven]

Bài 2. Nếu $3\sum x(y+1)\leqslant \dfrac{9}{4}(x+1)(y+1)(z+1)$ thì theo Cauchy-Schwarz, ta có:

$VT\leqslant \sqrt{3\sum x(y+1)}\leqslant \sqrt{\dfrac{9}{4}(x+1)(y+1)(z+1)}=VP$

Nếu $3\sum x(y+1)\geqslant \dfrac{9}{4}(x+1)(y+1)(z+1)$ thì $\dfrac{9}{4}(x+1)(y+1)(z+1)\geqslant 2\sum x+2\sum xy+3xyz+3$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$VT^2=\sum x(y+1)+\sum 2\sqrt{xy(z+1)(y+1)} \leqslant \sum x(y+1)+\sum xy(z+1)+\sum (y+1) \\= 2\sum x+2\sum xy+3xyz+3\leqslant \dfrac{9}{4}(x+1)(y+1)(z+1)=VP^2$

[nhungvienkimcuong]

P.s. Dùng kỹ thuật phân chia trường hợp

bài toán kinh điển cho kĩ thuật này là

$\boxed{\text{Problem}}$

Với $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng

$\frac{1}{(a+2b)^2}+\frac{1}{(b+2c)^2}+\frac{1}{(c+2a)^2}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$