Chủ đề này có 4 trả lời

[tahuudang8c]

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn $ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^{6}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{6}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{6}}{c^{3}+a^{3}}$

 

MOD:Chú ý cách đặt tiêu đề

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 25-05-2015 - 11:29

[chungtoiladantoan99]

Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz ta có:

$VT\geq \frac{(\sum a^3)^2}{2\sum a^3}=\frac{\sum a^3}{2}$

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Schur bậc ba ta có:

$\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)\geq 2\sum ab\sqrt{ab}=2 \Rightarrow \sum a^3\geq 2-3abc$

Lại có theo BĐT AM-GM: $1=\sum ab\sqrt{ab}=\sum (\sqrt{ab})^3\geq 3\sqrt[3]{(\sqrt{a^2b^2c^2}})^3= 3abc\Rightarrow -3abc\geq -1$

Suy Ra $\sum a^3\geq 2-1=1$

Do đó, $P\geq \frac{\sum a^3}{2}\geq \frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

KL: $Min P=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

[tonarinototoro]

bài này có thể giải rất đơn giản với phương pháp Cauchy ngược dấu

có $\frac{a^{6}}{a^{3}+b^{3}}= a^{3}-\frac{a^{3}b^{3}}{a^{3}+b^{3}}\geq a^{3}-\frac{a^{3}b^{3}}{2ab\sqrt{ab}}=a^{3}-\frac{ab\sqrt{ab}}{2}$

thiết lập 2 bđt tương tự rồi cộng lại được $P\geq \sum a^{3}-\sum \frac{ab\sqrt{ab}}{2}$ (1)

mặt khác theo bđt Cauchy có $a^{3}+b^{3}\geq 2ab\sqrt{ab}$, tương tự ... $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq  ab\sqrt{ab} +bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}$ (2)

từ (1) và (2) $\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}\left ( ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca} \right )= \frac{1}{2}$

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

KL...

[Thu Huyen 21]

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn $ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^{6}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{6}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{6}}{c^{3}+a^{3}}$

Ta có: $a^{3}+b^{3}\geq 2\sqrt{a^{3}.b^{3}}=2ab\sqrt{ab}$
$b^{3}+c^{3}\geq 2\sqrt{b^{3}.c^{3}}=2bc\sqrt{bc}$

$a^{3}+c^{3}\geq 2\sqrt{a^{3}.c^{3}}=2ac\sqrt{ac}$

=> $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}$=1
Sử dụng BĐT cộng mẫu ta có: $P=\frac{a^{6}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{6}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{6}}{c^{3}+a^{3}}$

$\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}=\frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2}\geq \frac{1}{2}$
Vậy min P = $\frac{1}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

[Hoangtheson2611]

$1\leqslant \frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}{2}\leqslant a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy-Schwarz , ta có :

P$\geqslant \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2}\geqslant \frac{1}{2}$

=> MinP=$\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$