Chủ đề này có 3 trả lời

[padpro123]

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A

AH $\perp$ BC (H$\epsilon BC$ )

P,P1,P2 lần lượt là chu vi của $\Delta ABC,\Delta ABH,\Delta ACH$

Chứng minh rằng: $P^{2}={P_{1}}^{2}+{P_{2}}^{2}$

[Phung Quang Minh]

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A

AH $\perp$ BC (H$\epsilon BC$ )

P,P1,P2 lần lượt là chu vi của $\Delta ABC,\Delta ABH,\Delta ACH$

Chứng minh rằng: $P^{2}={P_{1}}^{2}+{P_{2}}^{2}$

-Ta có: \[{P^2} = {P_1}^2 + {P_2}^2\].

\[ <  =  > {(AB + AC + BC)^2} = {(AH + BH + AB)^2} + {(AH + CH + AC)^2}\].

\[{ <  =  > A{B^2} + A{C^2} + B{C^2} + 2AB.AC + 2AB.BC + 2AC.BC = A{H^2} + B{H^2} + A{B^2} + 2AH.BH + 2BH.AB + 2AH.AB + A{H^2} + C{H^2} + A{C^2} + 2AH.CH + 2AH.AC + 2CH.AC}\].

\[{ <  =  > B{C^2} + 2(AB.AC - AH.BH - AH.CH) + 2(AB.BH + AC.CH) + (2AB.CH + 2AC.BH) = (A{H^2} + B{H^2} + A{H^2} + C{H^2}) + 2(AH.AB + AH.AC) + 2(AB.BH + AC.CH)}\].

\[{ <  =  > 2AB.CH + 2AC.BH = 2AH.AB + 2AH.AC}\].

\[{ <  =  > AB.CH + AC.BH = AH.AB + AH.AC(1).}\]

-Ta lại có: \[ABH \sim CAH(g.g) =  > \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{CA}}{{CH}} =  > AB.CH = CA.AH\]

-Tương tự, ta có: \[AC.BH = AH.AB\] 

=> AB.CH + AC.BH = AH.AB + AH.AC  => (1) đúng.

 Vậy đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phung Quang Minh: 26-05-2015 - 11:31

[padpro123]

 

-Ta có: \[{P^2} = {P_1}^2 + {P_2}^2\].

\[ <  =  > {(AB + AC + BC)^2} = {(AH + BH + AB)^2} + {(AH + CH + AC)^2}\].

\[{ <  =  > A{B^2} + A{C^2} + B{C^2} + 2AB.AC + 2AB.BC + 2AC.BC = A{H^2} + B{H^2} + A{B^2} + 2AH.BH + 2BH.AB + 2AH.AB + A{H^2} + C{H^2} + A{C^2} + 2AH.CH + 2AH.AC + 2CH.AC}\].

\[{ <  =  > B{C^2} + 2(AB.AC - AH.BH - AH.CH) + 2(AB.BH + AC.CH) + (2AB.CH + 2AC.BH) = (A{H^2} + B{H^2} + A{H^2} + C{H^2}) + 2(AH.AB + AH.AC) + 2(AB.BH + AC.CH)}\].

\[{ <  =  > 2AB.CH + 2AC.BH = 2AH.AB + 2AH.AC}\].

\[{ <  =  > AB.CH + AC.BH = AH.AB + AH.AC(1).}\]

-Ta lại có: \[ABH \sim CAH(g.g) =  > \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{CA}}{{CH}} =  > AB.CH = CA.AH\]

-Tương tự, ta có: \[AC.BH = AH.AB\] 

=> AB.CH + AC.BH = AH.AB + AH.AC  => (1) đúng.

 Vậy đpcm.

 

Mình không hiểu từ dòng 3 đến dòng 4 và từ dóng 4 đến dòng 5,bạn giải thích cụ thể được không ?

[Phung Quang Minh]

Mình không hiểu từ dòng 3 đến dòng 4 và từ dóng 4 đến dòng 5,bạn giải thích cụ thể được không ?

-Từ dòng 3 đến dòng 4 mình bỏ \[A{B^2};A{C^2}\] ở 2 vế và chuyển vế \[2(AH.BH + AH.CH)\] sang.

-Từ dòng 4 đến dòng 5 mình cùng bỏ \[2(AB.BH + AC.CH)\] ; \[B{C^2} = A{H^2} + B{H^2} + A{H^2} + C{H^2}\]\[( = A{B^2} + A{C^2})\] và \[AB.AC = 2.S(ABC) = AH.BC = AH.BH + AH.CH\].