Chủ đề này có 1 trả lời

[bvptdhv]

Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn a+2b+3c=1, chứng minh $72abc \leq a+b$

[chungtoiladantoan99]

theo giả thiết: $a+2b+3c=1 và a, b, c\geq 0\Rightarrow 0\leq a\leq 1\Rightarrow a\leq \sqrt[6]{a^5}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$a+b=(a+b)(a+2b+3c)^2\geq 4(a+b)3c(a+2b)=12c(a+b)(a+2b)$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $(a+b)(a+2b)\geq 6ab$

Thật vậy, theo BĐT AM-GM: $(a+b)(a+2b)\geq 2\sqrt{ab}.3\sqrt[3]{ab^2}=6\sqrt[6]{ab}.b\geq 6ab$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{6}$ hoặc $a=b=0, c=\frac{1}{3}$