1. Cho đường tròn (I) của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AD. CMR M,I,N thẳng hàng.
2. Gọi I, H là tâm nội tiếp và trực tâm của tam giác ABC. Lấy B1, C1 là trung điểm của AC và AB. Gọi B2 là giao của B1I với AB, C2 là giao của C1I với AC, A1 là tâm ngoại tiếp tam giác BHC. CMR A, I, A1 thẳng hàng khi và chỉ khi $S_{BHB_{2}} = S_{CKC_{2}}$.
3. Cho (I) nội tiếp ABC. D,E,F là điểm tiếp xúc các cạnh BC,AC,AB của ABC với (I). AD,BE,CF cắt (I) tại M,N,P. Gọi X,Y,Z là trung điểm NP, PM, MN. CMR AX,BY,CZ đồng quy.
4. Gọi (k) là đường tròn ngoại tiếp ABC va D là điểm thuộc cung AB không chứa C. Gọi IA, IB là tâm nội tiếp các tam giác ADC, BDC. CMR đường tròn ngoại tiếp của IAIB C tiếp xúc với (k) khi và chỉ khi $\frac{AD}{BD}= \frac{AC+CD}{BC+CD}$
