Chủ đề này có 1 trả lời

[Watson1504]

Chứng minh $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}<2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Watson1504: 28-05-2015 - 16:27

[hoctrocuaHolmes]

Chứng minh $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}<2$

Ta có $\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{k+1-k}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(k+1)\sqrt{k}}< \frac{2\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{\sqrt{k+1}\sqrt{k}}$

$=\frac{2}{\sqrt{k}}-\frac{2}{\sqrt{k+1}}$

Thay $k$ lần lượt bằng $1,2,...,2012$ rồi cộng các vế lại ta có

$\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}}< (\frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}})+(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}})+...+(\frac{2012}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2013}})=2-\frac{2}{\sqrt{2013}}< 2 (đpcm)$