7 replies to this topic

[congdaoduy9a]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn $\frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+b}\leq \frac{4c}{4c+57}$ . Tìm GTNN của abc

PS:giải tạm ngược dấu thử

Edited by congdaoduy9a, 29-05-2015 - 20:38.

[khanghaxuan]

Bài toán trên tương tự bài toán sau : 

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa : $\sum \frac{1}{1+a^{4}}=2$ . CMR : $abcd\geq 1 (*)$

 

P/s : Chắc bạn biết lời giải $(*)$

[congdaoduy9a]

Thực sự thì e mong a giải bài của e cụ thể 1 chút , bđt $(*) $ e cm được rồi sao nữa ạ  

[ZzNightWalkerZz]

Không biết mình đúng hay không nhưng giả thiết của bạn ngược dấu rồi. Với abc rất nhỏ thì bất đẳng thức vẫn có thể đúng

Mình sẽ đưa lời giải với giả thiết có chiều ngược lại sau. Mình đang bận

Đây là lời giải. Giả thiết tương đương với điều sau :

$\frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+b}+\frac{57}{57+c}\leq1$

Đặt $1.35.57=m$ (Mình lười quá không muốn tính )

$=>\frac{m}{x+m}+\frac{m}{y+m}+\frac{m}{z+m}\leq1$ (Bạn tự hiểu $x,y,z$ là cái gì nhé)

$<=>(m+x)(m+y)(m+z)\geq m.\sum (m+x)(m+y)=m[3m^2+2m(x+y+z)+xy+yz+zx]$

$<=>2m^3+m^2(x+y+z)\leq xyz=>xyz\geq2m^3+m^2.\sqrt[3]{xyz}$

Từ đây có thể dễ dàng suy ra min của $xyz$ và suy ra min $abc$ (Do m là hằng số)

 

Còn nếu như giả thiết của bạn không sai ta sẽ suy ra được điều này

$2m^3+m^2(x+y+z)\geq xyz$

Với x,y,z rất nhỏ, cho là nhỏ hơn 1 thì chắc chắn vế trái nhỏ hơn vế phải nên không có giá trị min của $xyz$

 

 

Edited by ZzNightWalkerZz, 29-05-2015 - 20:50.

[tonarinototoro]

bạn lấy bài này ở đâu vậy? mình từng làm 1 bài gần giống thế này nhưng ĐK cho là $\leq$

 

 

[hoanglong2k]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn $\frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+b}\leq \frac{4c}{4c+57}$ . Tìm GTNN của abc

PS: giải tạm ngược dấu thử

 Áp dụng AM-GM : 

  $\frac{4c}{4c+57}\geq \frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+b}\geq \frac{2\sqrt{35}}{\sqrt{(1+a)(35+b)}}$

  Lại có : 

   $+)~\frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+b}\leq \frac{4c}{4c+57}\Leftrightarrow \frac{b}{35+b}\geq \frac{1}{1+a}+\frac{57}{4c+57}\geq \frac{2\sqrt{57}}{\sqrt{(1+a)(4c+57)}}$

   $+)~\frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+b}\leq \frac{4c}{4c+57}\Leftrightarrow \frac{a}{1+a}\geq \frac{35}{35+b}+\frac{57}{4c+57}\geq \frac{2\sqrt{1995}}{\sqrt{(35+b)(4c+57)}}$

 Nhân 3 bất đẳng thức trên lại ta được :

 $\frac{4abc}{(1+a)(35+b)(57+4c)}\geq \frac{15960}{(1+a)(35+b)(57+4c)}\Leftrightarrow abc\geq 3990$

 

 

Spoiler

Buồn ngủ quá   

[tonarinototoro]

lộn đề  

Edited by tonarinototoro, 29-05-2015 - 20:45.

[khanghaxuan]

Ta có : $\frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+b}\leq \frac{4c}{4c+57}\Rightarrow \frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+b}+\frac{57}{57+4c}\leq 1$

Từ điều kiện đó ta có : 

$\frac{4c}{4c+57}\geq \frac{1}{1+a}+\frac{35}{35+b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{1+a}.\frac{35}{35+b}}$

$\frac{b}{b+35}\geq \frac{1}{1+a}+\frac{57}{57+4c}\geq 2\sqrt{\frac{1}{1+a}.\frac{57}{57+4c}}$

$\frac{a}{a+1}\geq \frac{35}{35+b}+\frac{57}{57+4c}\geq 2\sqrt{\frac{35}{35+b}.\frac{57}{57+4c}}$

Nhân vế theo vế ta được: $abc\geq 3990$

Dấu " $=$" xảy ra khi : $\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=70 & & \\ c=28,5 & & \end{matrix}\right.$