Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6$ . $Chứng minh \frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z} \le \frac{3}{2}$
$Chứng minh \frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z} \le \frac{3}{2}$
Bắt đầu bởi Watson1504, 29-05-2015 - 22:47
#2
Đã gửi 29-05-2015 - 23:13
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6$ . $Chứng minh \frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z} \le \frac{3}{2}$
Theo Cauchy-Schwarz : $6=\sum \frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2\sum x}\Rightarrow \sum x\geq \frac{3}{4}$
Mà : $VT=\sum \frac{1}{2(x+y+z)+(x+y)}\leq \frac{1}{16}\sum \left [ \frac{9}{2(x+y+z)}+\frac{1}{x+y} \right ]$
$=\frac{1}{16}\left [ \frac{27}{2(x+y+z)}+\sum \frac{1}{x+y} \right ]\leq \frac{1}{16}\left ( \frac{27}{2.\frac{3}{4}}+6 \right )=\frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 29-05-2015 - 23:14
- khanghaxuan, hoctrocuaHolmes, Watson1504 và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
