Chủ đề này có 4 trả lời

[nam2015]

Chứng minh rằng $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

 

[HoangVienDuy]

bạn c/m với bộ 2 số bằng cách quy đồng. Rồi áp dụng vào bộ 3 số: $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 30-05-2015 - 10:49

[O0NgocDuy0O]

Chứng minh rằng $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

Trước hết ta chứng minh cho 2 số:

Bđt tương đương:

$(a^{2}y+b^{2}x)(x+y)\geq xy(a+b)^{2}$ $\Rightarrow (ay-bx)^{2}\geq 0 \Rightarrow$ đpcm.

Do đó:$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$.

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

[chungtoiladantoan99]

ta có theo BĐT Cauchy-Swcharz: $(a+b+c)^2=(\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z})^2\leq (\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})(x+y+z)\Rightarrow \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

[tank06536]

cái này biến đổi tương đương là ra mà