Chủ đề này có 5 trả lời

[Bui Ba Anh]

Cho $a,b,c \geq 0$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1) \leq 27$

[mnguyen99]

Cho $a,b,c \geq 0$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1) \leq 27$

VT$\leq (\sum a^{2}+\sum a+3)^{3}.\frac{1}{27}$           (1)

Nhận thấy$ab+bc+ca\leq 3$

Do đó $(1)\leq ((a+b+c)^{2})^{3}.\frac{1}{27}=27 $

đpcm

[Truong Gia Bao]

VT$\leq (\sum a^{2}+\sum a+3)^{3}.\frac{1}{27}$           (1)

Nhận thấy $ab+bc+ca\leq 3$

Do đó $(1)\leq ((a+b+c)^{2})^{3}.\frac{1}{27}=27 $

đpcm

Làm phiền anh giải thích hộ em được ko ạ?

[khanghaxuan]

VT$\leq (\sum a^{2}+\sum a+3)^{3}.\frac{1}{27}$           (1)

Nhận thấy$ab+bc+ca\leq 3$

Do đó $(1)\leq ((a+b+c)^{2})^{3}.\frac{1}{27}=27 $

đpcm

Bước cuối bị ngược dấu  

[longatk08]

$p,q,r$ thần chưởng: 

BĐT tương đương với:

$f(r)=r^2+r(q-5)+q^2+2q-14\leq 0$

Hàm này ngịch biến theo $r$

 

Nếu $q\geq \frac{9}{4}$ thì Schur cho ta $r\geq \frac{4q-9}{3}$

 

BĐT tương đương $(q-3)(37q-30)\leq 0$ BĐT này đúng.

$q\leq \frac{9}{4}$ thì $r>0$ BĐT cũng đúng trong TH này.

 

Cách khác:

$f(r)$ hàm lồi nên ta chỉ cần chứng minh khi $c=0$ hay $a=b$ là đủ.

 

Với $c=0$ thì BĐT tương đương:

 

$(a^2+a+1)(b^2+b+1)\leq 27$ với $a+b=3$

Thay $a=3-b$ BĐT tương đương.

$b^4-6b^3+7b^2+6b-14\leq 0$.Tính nghiệm xấp xỉ được $b \approx 4,1689$ vì $b<3$ nên BĐT đúng.

Với $a=b$ thì $2a+c=3$ và khi đó BĐT tương đương:

$(a-1)^2(4a^4+2a^3-3a^2-16a-14)\leq 0$ cũng đúng với $a<\frac{3}{2}$

[nguyenhongsonk612]

$p,q,r$ thần chưởng: 

BĐT tương đương với:

$f(r)=r^2+r(q-5)+q^2+2q-14\leq 0$

Hàm này ngịch biến theo $r$

 

Nếu $q\geq \frac{9}{4}$ thì Schur cho ta $r\geq \frac{4q-9}{3}$

 

BĐT tương đương $(q-3)(37q-30)\leq 0$ BĐT này đúng.

$q\leq \frac{9}{4}$ thì $r>0$ BĐT cũng đúng trong TH này.

 

Cách khác:

$f(r)$ hàm lồi nên ta chỉ cần chứng minh khi $c=0$ hay $a=b$ là đủ.

 

Với $c=0$ thì BĐT tương đương:

 

$(a^2+a+1)(b^2+b+1)\leq 27$ với $a+b=3$

Thay $a=3-b$ BĐT tương đương.

$b^4-6b^3+7b^2+6b-14\leq 0$.Tính nghiệm xấp xỉ được $b \approx 4,1689$ vì $b<3$ nên BĐT đúng.

Với $a=b$ thì $2a+c=3$ và khi đó BĐT tương đương:

$(a-1)^2(4a^4+2a^3-3a^2-16a-14)\leq 0$ cũng đúng với $a<\frac{3}{2}$

Cách làm của bạn rất phức tạp

 

Cho $a,b,c \geq 0$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1) \leq 27$

Lời giải

Đặt $f(a;b;c)$ là vế trái của BĐT cần C/m

Với $t=\frac{b+c}{2}$. Ta sẽ đi chứng minh $f(a;b;c)\leq f(a;t;t)$ $(*)$

$(*)\Leftrightarrow (t^2+t+1)^2\geq (b^2+b+1)(c^2+c+1)$

$\Leftrightarrow (b-c)^2\begin{bmatrix} b^2+c^2+6bc+4(b+c-1) \end{bmatrix}\geq 0$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b\leq c$ $\Rightarrow a\leq 1;b+c\geq 2$

$\Rightarrow f(a;b;c)\leq f(a;t;t)$

Giờ ta chỉ cần C/m $f(a;t;t)\leq 27$. Thay $t=\frac{3-a}{2}$ vào

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow (a^2+a+1)(a^2-8a+19)^2\leq 432$

Xét $f(a)=(a^2+a+1)(a^2-8a+19)^2$ trên $[0;1]$

$f'(a)=6a^5-75a^4+384a^3-654a^2+318a+57=3(a-1)(a^2-8a+19)(2a^2-7a-1)\geq 0$

$\Rightarrow f(a)$ đồng biến trên $[0;1]$

$\Rightarrow f(a)\leq f(1)=432$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$