Chủ đề này có 3 trả lời

[QuynhTam]

a). Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=1$ Chứng minh:

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

b). Cho a,b,c>0. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}> 2$

[Truong Gia Bao]

b). Cho a,b,c>0. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}> 2$

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{c}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

(BĐT Cô-si)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+c & & \\ b=a+c& & \\ c=a+b& & \end{matrix}\right.$ (vô nghiệm khi $a,b,c>0)

Vậy dấu "=" không xảy ra $\rightarrow$ đpcm

[rainbow99]

a). Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=1$ Chứng minh:

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

có ở ĐÂY bạn

[the man]

a). Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=1$ Chứng minh:

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

b). Cho a,b,c>0. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}> 2$

a.

$\sum \frac{a}{b^2+c^2}=\sum \frac{a}{1-a^2}$

ÁP dụng AM-GM:

  $(1-a^2)(1-a^2).2a^2\leq \left ( \frac{2}{3} \right )^3$

  $\Rightarrow 1-a^2\leq \frac{2}{3\sqrt{3}a}$

  $\Rightarrow \frac{a}{1-a^2}\geq a^2.\frac{3\sqrt{3}}{2}$

  $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.\sum a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}$