Chủ đề này có 4 trả lời

[Hoang Tung 126]

  Cho các số thực dương $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của:

 

           $A=8(a+b+c)+5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

[ZzNightWalkerZz]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c=>a\geq1, c\leq1$

Ta có : $P=A-39=\sum (8a+\frac{5}{a}-13)=\sum (a-1)(8-\frac{5}{a})=\sum (a^2-1)\frac{8a-5}{a(a+1)}$

 Ta xét hai trường hợp $b\geq1, b\leq1$

TH1: $b\geq1$.Thay $c^2-1=(1-a^2)+(1-b^2)$.

$P=(a^2-1)(\frac{8a-5}{a(a+1)}-\frac{8c-5}{c(c+1)})+(b^2-1)(\frac{8b-5}{b(b+1)}-\frac{8c-5}{c(c+1)})$

Với $c\leq\frac{5}{8}$ thì $P\geq0$

Với $1\geq c\geq \frac{5}{8}=>\frac{8a-5}{a(a+1)}>\frac{8c-5}{c(c+1)};\frac{8b-5}{b(b+1)}>\frac{8c-5}{c(c+1)}$ (Bất đẳng thức này có thể giải bằng cách quy đồng)

$=>P\geq0$

TH2: $b\leq1$. Thay $a^2-1=(1-b^2)+(1-c^2)$. Từ đây ta giải tương tự như trên sẽ suy ra được $P\geq39$

Dấu $=$ :$a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 02-06-2015 - 23:14

[longatk08]

Chứng minh theo dồn biến cũng được,mình làm cách khác:

 

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ac,r=abc$ thì $p^2-2q=3$

Ta sẽ CM $A\geq 39$

$\Leftrightarrow r(39-8p)-5q\leq 0$

$p\leq 3\rightarrow 39-8p>0$ Áp dụng BĐT $r\leq \frac{q^2}{3p}$ Thay $q=\frac{p^2-3}{2}$

BĐT trên tương đương với:

$-(p-3)(p^2-3)(8p^2-15p-39)\leq 0$

Do $p^2-3=2q>0,p\leq 3$ nên BĐT trên đúng.

Vậy $Min A=39$

[lahantaithe99]

  Cho các số thực dương $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của:

 

           $A=8(a+b+c)+5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

Cách khác

 

Áp dụng BĐT phụ là $(a+b+c)^5\geq 81abc(a^2+b^2+c^2)$ thì theo điều kiện bài toán

 

$(a+b+c)^5\geq 243abc\geq 243(abc)^{\frac{5}{2}}\Rightarrow \left ( \frac{a+b+c}{\sqrt{abc}} \right )^5\geq 243\rightarrow \frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}\geq 3$

 

Theo $AM-GM$: $A\geq 13\sqrt[13]{\frac{(a+b+c)^{13}}{(abc)^5}}=13\sqrt[13]{\frac{(a+b+c)^5}{abc}.\left ( \frac{a+b+c}{\sqrt{abc}} \right )^8}\geq 13\sqrt[13]{243.3^8}=39$

 

Vậy min $A=39$

[dogsteven]

Xét bất đẳng thức $8x+\dfrac{5}{x}\geqslant \dfrac{3(x^2-1)}{2}+13$ đúng với mọi $x\in \left(0,\dfrac{10}{3}\right)$ mà $0<a,b,c<\sqrt{3}<\dfrac{10}{3}$ nên bất đẳng thức trên đúng với $x=a,b,c$. Vậy là ta có:

$8(a+b+c)+5\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\geqslant \dfrac{3(a^2+b^2+c^2-3)}{2}+39=39$

P.s. Lười U.C.T nên dựng tiếp tuyến cho hàm $f(x)=8\sqrt{x}+\dfrac{5}{\sqrt{x}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 03-06-2015 - 10:23