Chủ đề này có 1 trả lời

[ducvipdh12]

Cho $x,y$ là các số thực không âm thỏa mãn $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}=4$. Tìm GTLN của $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+2}$

[ZzNightWalkerZz]

Từ giả thiết suy ra $x\leq\sqrt{8};y\leq4$

Ta xét hai trường hợp : $x\leq2y, x>2y$

TH1 : $x\leq2y$. Ta sẽ chứng minh $P\leq2$, thật vậy ta có : 

$x^2+2x+y^2+y\leq2(xy+2y+x+2)<=>(x-2y)x\leq(4-y)(y+1)$ (Luôn đúng)

TH2 : $x>2y=>x>\sqrt{2}y$. Ta sẽ chứng minh $p\leq\sqrt{8}$, thật vậy ta có

$x^2+2x+y^2+y\leq\sqrt{8}(xy+2y+x+2)<=>(x-\sqrt{2}y)^2-y^2\leq2x(\sqrt{2}-1)+y(4\sqrt{2}-1)+2\sqrt{8}$

Do $y>0, x>\sqrt{2}y=>(x-\sqrt{2}y)^2\leq x^2$. Vậy ta chỉ cần chứng minh 

$x^2\leq2x(\sqrt{2}-1)+2\sqrt{8}<=>(x-\sqrt{8})(x+2)\leq0$ (Luôn đúng)

Từ hai trường hợp suy ra $Max P=\sqrt{8}<=>x=\sqrt{8},y=0$