Chủ đề này có 1 trả lời

[tahuudangvl]

Biết x, y, z là những số nguyên thỏa mãn $(x^{3}+y^{3}+z^{3})$ chia hết cho 27. Chứng minh rằng hoặc cả

ba số x, y, z cùng chia hết cho 3, hoặc 2 trong ba số có tổng chia hết cho 9.

[MathSpace001]

 Ta có: x³-x+y³-y+z³-z=x(x²-1)+y(y²-1)+z(z²-1)=x(x+1)(x-1)+y(y+1)(y-1)+z(z+1)(z-1)$\vdots 3$

Mặt khác x³+y³+z³$\vdots 27=>\vdots 3$=> x+y+z$\vdots 3$

Xảy ra 2 trường hợp là x,y,z chia cho 3 có cùng số dư hoặc có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2

+)  trường hợp 1: x,y,z chia cho 3 có cùng số dư

*Nếu x,y,z đồng thời chia hết cho 3=> x³+y³+z³ chia hết cho 27

*Nếu x,y,z chia 3 dư 1 thì ta sẽ đặt x=3k₁+1; y=3k₂+1; z=3k₃+1

Khi đó x³+y³+z³=(3k₁+1)³+(3k₂+1)³+(3k₃+1)³=27A+9(k₁+k₂+k₃)+3 (không chia hết cho 27 do không chia hết cho 9)

*Tương tự, đặt x=3q₁+2; y=3q₂+1;z=3q₃+1 thì x³+y³+z³=27B+36(q₁+q₂+q₃)+24 (không chia hết cho 27 do không chia hết cho 9)

+)trường hợp 2:    Đặt x=3m₁; y=3m₂+1; z=3m₃+2  (không làm mất tính tổng quát)

Khi đó  x³+y³+z³=27m₁³+27m₂³+27m₂²+9m₂²+1+27m₃³+54m₃²+18m₃+8=27C+9(không chia hết cho 27)

=>........