Cho $x,y,z$ là 3 số dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức: $M=\frac{(x+y+z-1)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
Tìm GTNN: $M=\frac{(x+y+z-1)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
#1
Đã gửi 03-06-2015 - 20:11
- hoctrocuaZel, Belphegor Varia, Hoang Nhat Tuan và 2 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 03-06-2015 - 20:40
Để ý : $(\sum a^{2}b)^{2}\leq (\sum a^{2})(\sum a^{2}b^{2})\leq 3.\frac{(\sum x^{2})^{2}}{3}\leq 3.3=9\Rightarrow \sum a^{2}b\leq 3$
Đó là chìa khóa của bài toán này
- Congnghiaky298 yêu thích
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -
#3
Đã gửi 03-06-2015 - 20:41
$\inline Áp dụng BĐT Svacxo cho x,y,z dương \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 9/(x+y+z) \geq 9/\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3 Dấu "=" khi x=y=z=1$
#4
Đã gửi 03-06-2015 - 20:48
Để ý : $(\sum a^{2}b)^{2}\leq (\sum a^{2})(\sum a^{2}b^{2})\leq 3.\frac{(\sum x^{2})^{2}}{3}\leq 3.3=9\Rightarrow \sum a^{2}b\leq 3$
Đó là chìa khóa của bài toán này
em làm còn qua cả đoạn này rồi cơ anh à. Nhưng phần cuối ta phải đi tìm min của $\frac{(a-1)^2}{3}+\frac{9}{a}$ với $a\leq 3$.
Làm như nào đây anh?
#5
Đã gửi 03-06-2015 - 21:10
em làm còn qua cả đoạn này rồi cơ anh à. Nhưng phần cuối ta phải đi tìm min của $\frac{(a-1)^2}{3}+\frac{9}{a}$ với $a\leq 3$.
Làm như nào đây anh?
$Áp dụng (x+y)^{2} \geq 4xy ta có : (a-1)^{2} \geq -4a \geq -12 a \leq 3 => \frac{9}{a} \geq 3 sum \geq -9$
#6
Đã gửi 03-06-2015 - 21:18
$Áp dụng (x+y)^{2} \geq 4xy ta có : (a-1)^{2} \geq -4a \geq -12 a \leq 3 => \frac{9}{a} \geq 3 sum \geq -9$
Dấu "=" xảy ra khi nào đây, Mai Quốc Tuấn?
#7
Đã gửi 03-06-2015 - 21:33
khi a = 3
Dấu "=" xảy ra khi nào đây, Mai Quốc Tuấn?
#8
Đã gửi 03-06-2015 - 21:36
khi a = 3
Suy nghĩ kĩ lại đi, điểm rơi của bài này đương nhiên a=3, nhưng làm theo cách của bạn với a=3 thì dấu = đầu tiên ko hề xảy ra, chỗ đó xảy ra khi a=-1 mà
#9
Đã gửi 03-06-2015 - 22:04
em làm còn qua cả đoạn này rồi cơ anh à. Nhưng phần cuối ta phải đi tìm min của $\frac{(a-1)^2}{3}+\frac{9}{a}$ với $a\leq 3$.
Làm như nào đây anh?
$\frac{(a-1)^2}{3}+\frac{9}{a}=\frac{a^2-2a+1}{3}+\frac{9}{a}=\frac{a^2}{3}+\frac{9}{a}-\frac{2a}{3}+\frac{1}{3}\geq 2\sqrt{3a}-\frac{2a}{3}+\frac{1}{3}\geq \frac{13}{3}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt3)(\sqrt a-2\sqrt3)\leq 0$
- arsfanfc, NoHechi và Congnghiaky298 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh