3 replies to this topic

[the man]

Bài toán:

Cho $x,y>0$ và $x+\sqrt[3]{y}$ , $y+\sqrt[3]{x}$ , $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}$ là các số nguyên.

Chứng minh rằng hai số $x,y$ cũng là số nguyên.

 

[ZzNightWalkerZz]

Bài toán:

Cho $x,y>0$ và $x+\sqrt[3]{y}$ , $y+\sqrt[3]{x}$ , $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}$ là các số nguyên.

Chứng minh rằng hai số $x,y$ cũng là số nguyên.

Ta có : $(x+\sqrt[3]{y})+(y+\sqrt[3]{x})-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\in Z<=>x+y\in Z$

$(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})^3\in Z<=>x+y+3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\in Z=>\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}\in Q$

$(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})^2\in Z<=>\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\in Z$

$(x+\sqrt[3]{y})-(y+\sqrt[3]{x})=(x-y)-(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}-1)\in Z$

$=>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\in Q=>\sqrt[3]{x}\in Q; \sqrt[3]{y}\in Q$

Từ đây bạn có thể dễ dàng suy ra $x,y$ là số nguyên 

Edited by ZzNightWalkerZz, 06-06-2015 - 22:01.

[the man]

Ta có : $(x+\sqrt[3]{y})+(y+\sqrt[3]{x})-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\in Z<=>x+y\in Z$

$(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})^3\in Z<=>x+y+3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\in Z<=>\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}\in Q$

$(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})^2\in Z<=>\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}\in Z$

$(x+\sqrt[3]{y})-(y+\sqrt[3]{x})=(x-y)-(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}-1)\in Z$

$=>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\in Q=>\sqrt[3]{x}\in Q; \sqrt[3]{y}\in Q$

Từ đây bạn có thể dễ dàng suy ra $x,y$ là số nguyên

Logic không chặt chẽ 

[ZzNightWalkerZz]

Logic không chặt chẽ 

Mình khá bận nên làm hơi ẩu, xin thứ lỗi