Chủ đề này có 3 trả lời

[tank06536]

Cho $xy\geq 1$ 

Chứng minh rằng  $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}\geq \frac{2}{xy+1} $

 

P/S: bài này có giải rồi nhưng tìm mãi không thấy đành hỏi forum luôn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tank06536: 07-06-2015 - 08:52

[hoctrocuaHolmes]

Mình đã giải ở đây nhé bạn http://diendantoanho...y2-ge-frac21xy/

[ngocanhnguyen10]

Cho $xy\geq 1$ 

Chứng minh rằng  $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}\geq \frac{2}{xy+1} $

 

P/S: bài này có giải rồi nhưng tìm mãi không thấy đành hỏi forum luôn

$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}\geq \frac{2}{xy+1} $

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{1+xy} \right )+\left ( \frac{1}{1+y^{2}}-\frac{1}{1+xy} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{xy-x^{2}}{(1+x^{2})(1+xy)}+\frac{xy-y^{2}}{(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{x(y-x)(1+y^{2})+y(x-y)(1+x^{2})}{(1+x^{2})(1+xy)(1+y^{2})}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(y-x)(x+y^{2}x-y-x^{2}y)}{(1+x^{2})(1+xy)(1+y^{2})}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(y-x)^{2}(xy-1)}{(1+x^{2})(1+xy)(1+y^{2})}\geq 0$

Vì $x;y\geq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy-1\geq 0 & & \\ 1+xy>0 & & \\ 1+x^{2}>0 & & \\ 1+y^{2}>0& & \end{matrix}\right.$

 $\Rightarrow \frac{(y-x)^{2}(xy-1)}{(1+x^{2})(1+xy)(1+y^{2})}\geq 0$

 

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

[Quoc Tuan Qbdh]

 http://olm.vn/hoi-da...tion/83036.html