Chủ đề này có 15 trả lời

[PBC A]

Biết $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

a/   $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$

b/  $\frac{a^{6}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{6}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{6}}{c^{3}+a^{3}}$

c/  $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}$

d/ $\frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+\frac{b^{5}}{c^{3}+a^{2}}+\frac{c^{5}}{a^{3}+b^{2}}+a^{4}+b^{4}+c^{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PBC A: 08-06-2015 - 16:30

[tranductucr1]

b) $\sum \frac{a^{6}}{b^{3}+c^{3}}\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2}$
ta có $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}}{3}=9$
=> $\sum \frac{a^{6}}{b^{3}+c^{3}}\geq 1,5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 08-06-2015 - 16:50

[tranductucr1]

mấy bài  này ảo quá 

[PBC A]

b) $\sum \frac{a^{6}}{b^{3}+c^{3}}\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2}$
ta có $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}}{3}=9$
=> $\sum \frac{a^{6}}{b^{3}+c^{3}}\geq 1,5$

đoạn dòng t2 c/m thế nào đó bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PBC A: 08-06-2015 - 16:58

[tranductucr1]

dùng bất đẳng thức holder

[loigiailanhlung]

c)Áp dụng BĐT Chebyshev,ta có:
$$\sum \frac{a^2}{b+c} \geq \frac{1}{3}.(a^2+b^2+c^2).\sum \frac{1}{b+c}$$
Áp dụng BĐT Schwart & AM-GM,ta có:
VP$\geq\frac{1}{3}.3.\frac{9}{2.(a+b+c)}\geq\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 08-06-2015 - 18:03

[loigiailanhlung]

a)Áp dụng BĐT Chebyshev &AM-GM tương tự như trên,ta có:
$$\sum \frac{a^2}{b}\geq\frac{1}{3}.3.\frac{9}{3}=3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 08-06-2015 - 18:05

[PBC A]

c)Áp dụng BĐT Chebyshev,ta có:
$$\sum \frac{a^2}{b+c} \geq \frac{1}{3}.(a^2+b^2+c^2).\sum \frac{1}{b+c}$$
Áp dụng BĐT Schwart & AM-GM,ta có:
VP$\geq\frac{1}{3}.3.\frac{9}{2.(a+b+c)}\geq\frac{3}{2}$

Nhưng bạn ơi giả sử theo BĐT chebyshev thì a>b>c nên b+c<a+c<a+b thì dấu phải ngược lại chứ

[loigiailanhlung]

Nhưng bạn ơi giả sử theo BĐT chebyshev thì a>b>c nên b+c<a+c<a+b thì dấu phải ngược lại chứ

Bạn ơi nhưng đây là áp dụng với 2 dãy a,b,c và$\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ cơ mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 08-06-2015 - 21:01

[PBC A]

Bạn ơi nhưng đây là áp dụng với 2 dãy a,b,c và$\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ cơ mà

à, vậy ở câu a thì a>b>c nhưng biểu thức này đâu xảy ra 1/b>1/c>1/a 

[thuy99]

dùng bất đẳng thức holder

$\left ( 1+1+1 \right )\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )^{2} \geq \left ( a+b+c) \right )^{3}$

holder thì ra thế này chứ ạ

[tranductucr1]

$\left ( 1+1+1 \right )\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )^{2} \geq \left ( a+b+c) \right )^{3}$

holder thì ra thế này chứ ạ

thì mình chia hai vế cho  3  cho gọn 

[loigiailanhlung]

Bạn ơi nhưng đây là áp dụng với 2 dãy a,b,c và$\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ cơ mà

à, vậy ở câu a thì a>b>c nhưng biểu thức này đâu xảy ra 1/b>1/c>1/a

Xin lỗi bạn ,mình giải lại đây:
Ta sẽ c/m:$\sum\frac{a^2}{b}\geq\sqrt{3.(a^2+b^2+c^2)}$
$$VT-(a+b+c)=\sum \frac{a^2}{b}-2a+b$$
$$=\sum \frac{(a-b)^2}{b}$$
$$VP-(a+b+c)=\frac{\sum (a-b)^2}{a+b+c+\sqrt{3.(a^2+b^2+c^2)}}$$
BĐT$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\frac{a+c+\sqrt{3.(a^2+b^2+c^2)}}{b.(a+b+c+\sqrt{3.(a^2+b^2+c^2)})}\geq 0$
Luôn đúng $\Rightarrow$đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 10-06-2015 - 13:03

[thuy99]

thì mình chia hai vế cho  3  cho gọn 

ý mình là $\geq \left ( a+b+c \right )^{3}$ chứ kg phải $\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{3}$

[khanghaxuan]

Thấy bài cuối dễ mà không  ai giải  

Ta có : $3b^{4}+a^{4}\geq 4ab^{3}\Rightarrow \sum a^{4}\geq \sum ab^{3}\Rightarrow \frac{\sum a^{4}}{4}\geq \frac{\sum ab^{3}}{4}$

$c^{4}+a^{2}\geq 2ac^{2}\Rightarrow \sum a^{4}+\sum a^{2}\geq 2\sum ac^{2}\Rightarrow \frac{\sum a^{4}}{8}+\frac{\sum a^{2}}{8}\geq \frac{\sum ac^{2}}{4}$

Do đó ta có : 

$\sum \frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+\sum a^{4}=\sum \frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+\frac{\sum a^{4}}{4}+(\frac{\sum a^{4}}{8}+\frac{\sum a^{2}}{8})+\frac{5}{8}\sum a^{4}-\frac{3}{8}\geq (\sum \frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+\frac{a(b^{3}+c^{2})}{4})+\frac{15}{8}-\frac{3}{8}$

$\geq \sum a^{3}+\frac{3}{2}\geq 3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

Vậy GTNN là $\frac{9}{2}$

[tranductucr1]

ý mình là $\geq \left ( a+b+c \right )^{3}$ chứ kg phải $\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{3}$

Đúng mà 
ta có áp dụng bất đẳng thức Holder ta có 

$(1+1+1)(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geq (\sqrt[3]{a^{6}}+\sqrt[3]{b^{6}}+\sqrt[3]{c^{6}})^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$