Chủ đề này có 2 trả lời

[nangbuon]

Cho 4 số thực a,b,x,y thỏa mãn:$a^2+b^2=x^2+y^2=1$. CMR: $-\sqrt{2}\leq a(x-y)+ b(x+y)\leq \sqrt{2}$

[ZzNightWalkerZz]

Cho 4 số thực a,b,x,y thỏa mãn:$a^2+b^2=x^2+y^2=1$. CMR: $-\sqrt{2}\leq a(x-y)+ b(x+y)\leq \sqrt{2}$

Đặt $x+y=m;x-y=n=>m^2+n^2=2$. Điều phải chứng minh tương đương với : 

$[an+ bm]^2\leq2<=>a^2n^2+b^2m^2+2abmn\leq2<=>(1-b^2)n^2+(1-a^2)m^2+2abmn\leq2$

$<=>(n^2+m^2)-(bn-am)^2\leq2<=>2-(bn-am)^2\leq2$ (luôn đúng)

Bạn tự suy ra dấu =

[Quoc Tuan Qbdh]

Đặt $x+y=m;x-y=n=>m^2+n^2=2$. 

Áp dụng BĐT C-S : $(am+bn)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(m^{2}+n^{2})=2 \rightarrow -\sqrt{2}\leq am+bn\leq \sqrt{2}$