Chủ đề này có 3 trả lời

[CristyDang]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: \[ab + bc + ca \ge 3\]

\[\sqrt {a + 3}  + \sqrt {b + 3}  + \sqrt {c + 3}  \le 2({a^2} + {b^2} + {c^2})\]

[CristyDang]

Ta có: 

\[a + 3 + 4 \ge 4\sqrt {a + 3}  \Rightarrow \sqrt {a + 3}  \le \frac{{a + 7}}{4}\]

\[b + 3 + 4 \ge 4\sqrt {b + 3}  \Rightarrow \sqrt {b + 3}  \le \frac{{b + 7}}{4}\]

\[c + 3 + 4 \ge 4\sqrt {c + 3}  \Rightarrow \sqrt {c + 3}  \le \frac{{c + 7}}{4}\]

\[ \Rightarrow \sqrt {a + 3}  + \sqrt {b + 3}  + \sqrt {c + 3}  \le \frac{{a + b + c + 21}}{4}\]

Đến đây thì làm tiếp thế nào ạ?Mọi người giúp với.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CristyDang: 11-06-2015 - 19:47

[khanghaxuan]

Bài này khá lỏng

[Nhok Tung]

Cần CM $\frac{a+b+c+21}{4}\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \Leftrightarrow a+b+c+21\leq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Mà ta có : 7(a²+b²+c²) $\geq 7(ab+bc+ca)\geq 21$   (1)

Lại có $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c$                                                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra 8(a²+b²+c²) $\geq$a+b+c+21 => Đpcm