Cho a,b > 0 thỏa $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$. Chứng minh $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
Chứng minh $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
Bắt đầu bởi Nhok Tung, 13-06-2015 - 10:52
#1
Đã gửi 13-06-2015 - 10:52
Nhok Tung
-
- Thành viên
-
- 226 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 13-06-2015 - 11:03
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Cho a,b > 0 thỏa $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$. Chứng minh $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
Dễ xơi
Đặt $t=\sqrt{ab}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$12\geq (a+b)^3+4ab\geq (2\sqrt{ab})^3+4ab=8t^3+4t^2\Leftrightarrow 0< t\leq 1$
Vì $ab\leq 1$ nên $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$
Vậy ta chỉ cần C/m
$\frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016\Leftrightarrow \frac{2}{1+t}+2015t^2\leq 2016\Leftrightarrow (t-1)(2015t^2+4030t+2014)\leq 0$
(đúng vì $0<t\leq 1$)
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
- hoctrocuaHolmes, Hoang Nhat Tuan và Nhok Tung thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
