Chủ đề này có 1 trả lời

[ducvipdh12]

 Cho $a_1,a_2,...,a_p$, hãy tính

$\lim_{n\rightarrow \infty }(\sqrt[p]{(n+a_1)(n+a_2)...(n+a_p)}-n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 13-06-2015 - 22:02

[loigiailanhlung]

Cho $a_1,a_2,...,a_p$, hãy tính
$\lim_{n\rightarrow \infty }(\sqrt[p]{(n+a_1)(n+a_2)...(n+a_p)}-n)$

Ta có một bổ đề giới hạn quen thuộc:
Nếu $lim x_{n}=0$ thì:
$$lim \frac{\sqrt[p]{1+x_{n}}-1}{x_{n}}=\frac{1}{p}(*)$$
C/m:
Đặt $y_{n}=\sqrt[p]{1+x_{n}}$
$$\Rightarrow lim y_{n}=1$$
Thay vào (*),ta có:
lim$\frac{y_{n}-1}{y_{n}^p-1}$=lim$\frac{1}{y_{n}^{p-1}+...+1}$=$\frac{1}{p}$
Trở lại bài toán ,ta có:
Cận trên:
$$\sqrt[p]{(n+a_1)(n+a_2)...(n+a_p)}-n\leq\frac{(n+a_1)+...(n+a_p)}{p}-n$$
$$=\frac{a_1+...+a_p}{p}$$
Cận dưới:
$$\sqrt[p]{(n+a_1)(n+a_2)...(n+a_p)}-n=p.(\sqrt[p]{1+\frac{a_1+...a_p}{n}}-1)$$
$$\frac{\sqrt[p]{1+\frac{a_1+...a_p}{n}}-1}{\frac{a_1+...a_p}{n}}.(a_1+..a_p)$$
Áp dụng bổ đề ta có giới hạn trên =$\frac{a_1+...+a_p}{p}$
Dùng giới hạn kẹp ta có lim =$\frac{a_1+...+a_p}{p}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 16-06-2015 - 22:08