Chủ đề này có 8 trả lời

[letunglam1809]

Cho các số thực dương lớn hơn 1 và thỏa mãn $a+b+c=9$

CMR: $\left ( a^2+2 \right )\left ( b^2+2 \right )\left ( c^2+2 \right )\leq 1331$

[hoanglong2k]

Cho các số thực dương lớn hơn 1 và thỏa mãn $a+b+c=9$

CMR: $\left ( a^2+2 \right )\left ( b^2+2 \right )\left ( c^2+2 \right )\leq 1331$

 Giả sử $c\geq b\geq a\Rightarrow c\geq 3$

 Đặt $f(a,b,c)=(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$ 

 Xét $f(a,b,c)-f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})=\frac{-1}{16}(a^2+2)(b-c)^2(b^2+6bc+c^2-16)$

                                                                       $\leq \frac{-1}{16}(a^2+2)(b-c)^2(b^2+18b+9-16)\leq 0$  do $b>1$

 $\Rightarrow f(a,b,c)\leq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})\Rightarrow f(a,b,c)\leq f(3,3,3)=1331$

 Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 13-06-2015 - 23:54

[letunglam1809]

Bạn ơi dòng cận cuối sao lại suy ra ngay nó nhỏ hơn hoặc bằng f(3,3,3) là sao ??? Mình không có hiểu

[hoanglong2k]

Bạn ơi dòng cận cuối sao lại suy ra ngay nó nhỏ hơn hoặc bằng f(3,3,3) là sao ??? Mình không có hiểu

 Chỗ đó là định lí dồn biến mà

 Thực ra đó là khi 3 biến bằng nhau mà khi đó thì mỗi biến bằng 3 nên em ghi vậy cho lẹ

[Phuong Thu Quoc]

 \Rightarrow f(a,b,c)\leq f(3,3,3)=1331$

 

 

 Chỗ đó là định lí dồn biến mà

 Thực ra đó là khi 3 biến bằng nhau mà khi đó thì mỗi biến bằng 3 nên em ghi vậy cho lẹ

Dồn biến chỉ đưa về trường hợp 2 biến bằng nhau thôi! 

Còn 1 khúc chứng minh $f\left ( 9-2t,t,t \right )\leq 1331$. Không thể hấp tấp mà bỏ qua khúc này được.

Đây là hàm 1 biến!

[letunglam1809]

rồi đã hiểu nhưng trước đó mình không có biết định lý này, sau khi tìm hiểu thì đã rõ, tks bạn

[hoanglong2k]

Dồn biến chỉ đưa về trường hợp 2 biến bằng nhau thôi! 

Còn 1 khúc chứng minh $f\left ( 9-2t,t,t \right )\leq 1331$. Không thể hấp tấp mà bỏ qua khúc này được.

Đây là hàm 1 biến!

 BĐT $\Leftrightarrow (t-3)^2(4t^4-12t^3-9t^2-90t-111)\leq 0$

 Khảo sát hàm $f(t)=4t^4-12t^3-9t^2-90t-111$ trên $(2;4)$ là xong

[dogsteven]

Định lý dồn biến đó là G.M.V, chứng minh lại không hề đơn giản đâu (thực chất trình độ cấp 3 còn khó có thể nuốt trôi định lý đó)

Xét hàm số $f(x)=\ln (x^2+2)-\dfrac{6(x-3)}{11}-\ln 11$ trên $(1,+\infty]$

Ta có $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+2}-\dfrac{6}{11}=0\Rightarrow x=3$

Ngoài ra $f''(3)<0$ nên $f(x)\leqslant f(3)=0$ với mọi $x\geqslant 1$

Do đó $f(a)+f(b)+f(c)\leqslant 0\Leftrightarrow \sum \ln (a^2+2)\leqslant 3\ln 11=\ln 1331$ hay $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\leqslant 1331$

[letunglam1809]

thế thì nhân tiện cho mình hỏi cách thông thường với hs phổ thông đi, đi thi đh mà dùng M.V thì nó gạch