Cho hình vuông $ABCD$.Lấy $E$ bất kỳ trên $BC$,$F$ là giao của $AE$ và $CD$ và $I$ là giao của $DE$ và $BF$.Chứng minh rằng $CI$ vuông góc $AF$
Một bổ đề đẹp
#1
Đã gửi 13-06-2015 - 23:50
#2
Đã gửi 14-06-2015 - 01:39
#3
Đã gửi 14-06-2015 - 11:26
Cho hình vuông $ABCD$.Lấy $E$ bất kỳ trên $BC$,$F$ là giao của $AE$ và $CD$ và $I$ là giao của $DE$ và $BF$.Chứng minh rằng $CI$ vuông góc $AF$
Lấy $AE\cap BD\equiv X$
Ta có
$\frac{sin\widehat{BAF}}{sin\widehat{DAF}}=\frac{AX.ABsin\widehat{BAF}}{AD.AXsin\widehat{DAF}}=\frac{BX}{DX}$
Hoàn toàn tương tự thì $\frac{BC.sin\widehat{BCI}}{CF.sin\widehat{ICF}}=\frac{BI}{IF}$
Mặt khác theo định lí Ceva cho tam giác $BDF$ có $BC,DI,FX$ đồng quy nên $\frac{BX}{DX}.\frac{DC}{CF}.\frac{FI}{BI}=1$
Từ tất cả các điều trên $\Rightarrow \frac{tan\widehat{BAF}}{tan\widehat{BCI}}=1\Rightarrow \widehat{BAF}=\widehat{BCI}$
Nếu $S\equiv AF\cap CI$ thì $ABSC$ nội tiếp. Do đó $\widehat{EKC}=\widehat{EBA}=90^0\rightarrow AF\perp CI$
- barcavodich yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh