Chủ đề này có 3 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Với mọi số tự nhiên $n \geq 1$, chứng minh rằng $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

[ZzNightWalkerZz]

Ta chứng minh bằng quy nạp

Giả sử giả thiết đúng vơi $n=k-1$ ta chứng minh nó cũng đúng với $n=k$

Ta sẽ chứng minh : $\frac{2k-1}{2k}.\frac{1}{\sqrt{2(k-1)+1}}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}<=>\frac{\sqrt{2k-1}}{2k}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}<=>2k>\sqrt{(2k-1)(2k+1)}$ (Luôn đúng)

$=>\frac{1}{\sqrt{2k+1}}>\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{2k-1}{2k}$ (Đ.p.c.m)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 14-06-2015 - 04:49

[hoanglong2k]

Với mọi số tự nhiên $n \geq 1$, chứng minh rằng $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

 Xét $H=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{2n-1}{2n}$

       $L=\frac{2}{3}.\frac{4}{5}....\frac{2n}{2n+1}$

 Có $H<L$ và $HL=\frac{1}{2n+1}\Rightarrow \frac{1}{2n+1}> H^2\Rightarrow H< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 14-06-2015 - 08:13

[Hoang Nhat Tuan]

Để chứng minh, ta dùng BĐT $\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}$

Khi đó $A^2<(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}).(\frac{2}{3}.\frac{4}{5}...\frac{2n}{2n+1})=\frac{1}{2n+1}$

=> ĐPCM