Chủ đề này có 5 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho $x,y$ là 2 số thực bất kì khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\geq 3$

[thuy99]

$A=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^4}{x^2y^2}+\frac{y^4}{x^2y^2}\geq \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{2x^2y^2}$

đặt $t=\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}$

bđt trở thành $4t+\frac{1}{2t}\geq 3 \Leftrightarrow t\geq \frac{1}{2}$ hoặc $t\leq \frac{1}{4}$ (đúng theo AM-GM)

[khanghaxuan]

Spoiler

Gợi ý : Biến đổi tương đương 

[marcoreus101]

Bài này của KHTN năm 2000 đây mà

[Hoang Long Le]

Cho $x,y$ là 2 số thực bất kì khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\geq 3$

 Đặt biểu thức vế trái là $A$ thì 

 $$A=\frac{4}{\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )^2}+\left ( \frac{x}{y} \right )^2+\left ( \frac{y}{x} \right )^2$$

 Đặt $a=\frac{x}{y}~;b=\frac{y}{x}$ thì $ab=1\Rightarrow a^2+b^2\geq 2$

 Ta có :

$$A=\frac{4}{(a+b)^2}+a^2+b^2=\frac{4}{a^2+b^2+2}+\frac{a^2+b^2+2}{4}+\frac{3(a^2+b^2+2)}{4}-2\geq 2+3-2=3$$

[KietLW9]

Ta có: $VT-VP=\frac{(x+y)^2(x-y)^2(x^4+x^2y^2+y^4)}{x^2y^2(x^2+y^2)^2}\geqq 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi x = y hoặc x = -y