3 replies to this topic

[Taj Staravarta]

Cho $a+b+c=3$ và $a,b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a+b+c=3$ và $a,b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$

Ta có:$\sum \frac{a^3}{a^2+b^2}\geq \sum \frac{2a-b}{2}<=>\sum (b^3+a^2b) \geq \sum 2ab^2$ (BĐT AM-GM)

Do đó: $P\geq \frac{2(a+b+c)-(a+b+c)}{2}=\frac{3}{2}$

Edited by Hoang Nhat Tuan, 17-06-2015 - 09:29.

[Dinh Xuan Hung]

Cho $a+b+c=3$ và $a,b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$

$P=\sum \frac{a^3}{a^2+b^2}= \sum \frac{a(a^2+b^2)-ab^2}{a^2+b^2}=\sum \left ( a-\frac{ab^2}{a^2+b^2} \right )\geq \sum \left ( a-\frac{ab^2}{2ab} \right )=\sum \left ( a-\frac{b}{2} \right )=\frac{3}{2}$

[O0NgocDuy0O]

Cho $a+b+c=3$ và $a,b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$

Bài này Cauchy ngược nhá!!!

$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq a-\frac{b}{2}$.

Tương tự thì:

$P\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$.

Dấu "$=$" xảy ra khi $a=b=c=1$