Chủ đề này có 2 trả lời

[aristotle pytago]

1) $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$
với abcd=1 và a,b,c,d đều lớn hơn 0
lấy trong CHINA TST


$2)a)$ $(x+y)^{4}+(y+z)^{4}+(z+x)^{4}-\frac{4}{7}(x^{4}+y^{4}+z^{4})\geq 0$
đề thi chọn đội tuyển vn đi thi toán quốc tế


2b)$(a+b+c)^{4}+(a+b-c)^{4}+(-a+b+c)^{4}+(a-b+c)^{4}\leq 28(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 19-06-2015 - 19:56

[Hoang Nhat Tuan]

1) $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$

với abcd=1 và a,b,c,d đều lớn hơn 0

lấy trong CHINA TST

Áp dụng BĐT C-S: $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\geq \frac{1}{(1+ab)(1+\frac{a}{b})}+\frac{1}{(1+ab)(1+\frac{b}{a})}=\frac{1}{1+ab}$

Tương tự rồi cộng lại => ĐPCM

[the man]

$2)a)$ $(x+y)^{4}+(y+z)^{4}+(z+x)^{4}-\frac{4}{7}(x^{4}+y^{4}+z^{4})\geq 0$
đề thi chọn đội tuyển vn đi thi toán quốc tế


2b)$(a+b+c)^{4}+(a+b-c)^{4}+(-a+b+c)^{4}+(a-b+c)^{4}\leq 28(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

2b.

Sử dụng nhiều lần đẳng thức

$$(x-y)^4+(x+y)^4=2(x^4+6x^2y^2+y^4)$$

Biến đổi:

$VT=[(b+c)+a]^4+[(b+c)-a]^4+[a-(b-c)]^4+[a+(b-c)]^4$

             $=4(a^4+b^4+c^4)+24(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq 28(a^4+b^4+c^4)$

 

Nếu đặt :

$$\left\{\begin{matrix}\frac{b+c-a}{2}=x & & & \\ \frac{c+a-b}{2}=y & & & \\ \frac{a+b-c}{2}=z & & & \end{matrix}\right.$$

thì sẽ trở thành bài 2a

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 20-06-2015 - 14:03