Chủ đề này có 6 trả lời

[the man]

Bài toán:

Cho  $\alpha$  là một số thực. Tìm GTLN của biểu thức 

                    $P=ab+bc+ca+ \alpha.abc$

trong đó  $a,b,c$  là các số thực không âm có tổng bằng 1.

[marcoreus101]

Bài toán:

Cho  $\alpha$  là một số thực. Tìm GTLN của biểu thức 

                    $P=ab+bc+ca+ \alpha.abc$

trong đó  $a,b,c$  là các số thực không âm có tổng bằng 1.

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{27}$

$Max=\frac{1}{27} \alpha +\frac{1}{3}$

Đúng không nhỉ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi marcoreus101: 22-06-2015 - 17:22

[Quoc Tuan Qbdh]

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{27}$

$Max=\frac{1}{27} \alpha +\frac{1}{3}$

Đúng không nhỉ 

 

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{27}$

$Max=\frac{1}{27} \alpha +\frac{1}{3}$

Đúng không nhỉ 

Nếu $\alpha$ âm thì 

[marcoreus101]

Nếu $\alpha$ âm thì 

Đâu có ảnh hưởng gì đâu.

[Quoc Tuan Qbdh]

Đâu có ảnh hưởng gì đâu.

Nhân vào đổi chiều     

[ZzNightWalkerZz]

Với $\alpha$ nhỏ hơn 0 thì khá khó chịu đấy

Đã làm được với trường hợp $2\sum a^2\geq1$ thử nghĩ với $2\sum a^2<1$ xem sao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 22-06-2015 - 22:12

[Hoang Long Le]

Bài toán:

Cho  $\alpha$  là một số thực. Tìm GTLN của biểu thức 

                    $P=ab+bc+ca+ \alpha.abc$

trong đó  $a,b,c$  là các số thực không âm có tổng bằng 1.

  Có một tính chất đáng chú í là với các số thực $a,b,c$ thoả mãn điều kiện trên thì

$$4(ab+bc+ca)\leq 9abc+1$$

 Chứng minh bằng cách sử dụng tính đơn điệu hàm số

 

Chứng minh

  Ta có bất đẳng thức tương đương với $a(9bc-4b-4c)+1-4bc\geq 0$

  Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow a\in \left [ \frac{1}{3};1 \right ]$

  Đặt $f(a)=a(9bc-4b-4c)+1-4bc\Rightarrow f(1)=1;f\left ( \frac{1}{3} \right )=0$

  Vì $a\in \left [ \frac{1}{3};1 \right ]\Rightarrow f(a)\geq \min {\left \{ f\left ( \frac{1}{3} \right );f(1) \right \}}=0$

  Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $(a,b,c)=\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right )$ và các hoán vị

 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 Áp dụng vào ta sẽ có :

 $$4P\leq 9abc+1+4\alpha .abc=(9+4\alpha )abc+1$$

 Với $\alpha < \frac{-9}{4}\Rightarrow 4P\leq 1\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}$

 

 Với $\alpha \geq \frac{-9}{4}$, theo BĐT AM-GM ta có :

$$4P\leq (9+4\alpha)abc+1\leq (9+4\alpha).\frac{(a+b+c)^3}{27}+1=\frac{36+4\alpha}{27}\Rightarrow P\leq \frac{9+\alpha}{27}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 23-06-2015 - 02:54