Chủ đề này có 8 trả lời

[olympiachapcanhuocmo]

Cho $\left\{\begin{matrix}a\geq 0,b\geq 0,c\geq 0 & & \\ & & \end{matrix}\right.a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

 

CMR:$\sum a^{3}\geq \sum a$

 

[Lee LOng]

Ta có:

$\sum a^{2}=3$

$2\sum a^{3}+3\geq 3\sum a^{2}=9$

$\sum a\leq \sqrt{3\sum a^{2}}=3$

[olympiachapcanhuocmo]

 

Ta có:

$\sum a^{2}=3$

$2\sum a^{3}+3\geq 3\sum a^{2}=9$

$\sum a\leq \sqrt{3\sum a^{2}}=3$

 

Tớ không hiểu cách làm của bạn ?

[Nhok Tung]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có : $a^{3}+a^{3}+1\geq 3a^{2}$

Tương tự với các BĐT còn lại. Cộng vế theo vế được $2\sum a^{3}+3\geq 3\sum a^{2}=9\Rightarrow \sum a^{3}\geq 3$   (1)

Có $(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9\Rightarrow a+b+c\leq 3$   (2)

Từ (1) và  (2) suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 23-06-2015 - 10:20

[khanghaxuan]

Nếu bài trên chưa thật sự hay thì hãy thử sức với bài này xem

Cho $a,b,c>0$ thỏa : $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$ . CMR : $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$

[Dinh Xuan Hung]

Cho $\left\{\begin{matrix}a\geq 0,b\geq 0,c\geq 0 & & \\ & & \end{matrix}\right.a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

 

CMR:$\sum a^{3}\geq \sum a$

BĐT $C-S$ 

$(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$

Từ đó suy ra $(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a+b+c$

[binhnhaukhong]

Nếu bài trên chưa thật sự hay thì hãy thử sức với bài này xem

Cho $a,b,c>0$ thỏa : $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$ . CMR : $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$

Không ngại đồng bậc 2 vế rồi $p,q,r$

[khanghaxuan]

Không ngại đồng bậc 2 vế rồi $p,q,r$

p,q,r again  , this is not always useful method . Try others things 

Spoiler

Đang học Tiếng Anh , thông cảm nhé

[olympiachapcanhuocmo]

Không ngại đồng bậc 2 vế rồi $p,q,r$

Bạn có thể giới thiệu thêm về phương pháp đó không ?