Chủ đề này có 2 trả lời

[nhivanle]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+ac+bc=1$

CM: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1 }}+ \frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}} \leq \frac{3}{2}$ 

   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 25-06-2015 - 22:36

[Quoc Tuan Qbdh]

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{a}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$

(Theo $Cauchy$)

Tương tự $\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}\leq \frac{b}{2}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a})$

$\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \frac{c}{2}(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b})$

cộng lại =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 25-06-2015 - 22:47

[nguyenhongsonk612]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+ac+bc=1$

CM: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1 }}+ \frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}} \leq \frac{3}{2}$ 

   

Cách khác

Vì $ab+bc+ca=1$ nên tồn tại một tam giác sao cho $a=\tan \frac{A}{2};b=\tan \frac{B}{2};c=\tan \frac{C}{2}$

Với $A+B+C=\pi\Rightarrow 0<\frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2}< \frac{\pi}{2}$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow \sum \frac{\tan \frac{A}{2}}{\sqrt{1+\tan^2 \frac{A}{2}}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \sin \frac{A}{2}\leq \frac{3}{2}$

Đây đã là BĐT quen thuộc rồi