Cho $x,y,z\neq 0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P\doteq \frac{1}{\sqrt{2}x+y+z}+\frac{1}{x+\sqrt{2}y+z}+\frac{1}{x+y+\sqrt{2}z}$
Tìm GTLN của $P\doteq \frac{1}{\sqrt{2}x+y+z}+\frac{1}{x+\sqrt{2}y+z}+\frac{1}{x+y+\sqrt{2}z}$
#1
Posted 26-06-2015 - 10:15
#2
Posted 26-06-2015 - 16:40
Cho $x,y,z\neq 0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P\doteq \frac{1}{\sqrt{2}x+y+z}+\frac{1}{x+\sqrt{2}y+z}+\frac{1}{x+y+\sqrt{2}z}$
Ta có $\frac{2}{\sqrt{2}x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}x+y+z}$
$\frac{2}{\sqrt{2}y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}y+x+z}$
$\frac{2}{\sqrt{2}z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}z+y+x}$
$\Rightarrow P\leq \frac{(2+\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})^{2}}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\leq \frac{1}{2+\sqrt{2}}$
Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=3$
Vậy,................
- Dinh Xuan Hung and eminemdech like this
#3
Posted 26-06-2015 - 20:54
Ta có $\frac{2}{\sqrt{2}x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}x+y+z}$
$\frac{2}{\sqrt{2}y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}y+x+z}$
$\frac{2}{\sqrt{2}z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}z+y+x}$
$\Rightarrow P\leq \frac{(2+\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})^{2}}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\leq \frac{1}{2+\sqrt{2}}$
Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=3$
Vậy,................
Mình nghĩ là $x,y,z$ chưa chắc đã dương nên việc áp dụng Schwarz ở đoạn chỗ màu đỏ là ko ổn.
- tranhai0247 and eminemdech like this
#4
Posted 27-06-2015 - 08:34
Ta có $\frac{2}{\sqrt{2}x}$$+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}x+y+z}$
$\frac{2}{\sqrt{2}y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}y+x+z}$
$\frac{2}{\sqrt{2}z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\geq \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{\sqrt{2}z+y+x}$
$\Rightarrow P\leq \frac{(2+\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})^{2}}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\leq \frac{1}{2+\sqrt{2}}$
Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=3$
Vậy,................
hình như $x,y,z$ là các số thực dương thì phải, có thể mình nhầm
mà chỗ trên sao bạn biết tách ra thế
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users