Chủ đề này có 6 trả lời

[duyanh782014]

Chứng minh rằng $A=x^{2}-xy+y^{2}-x-y+3>0$

[duyanh782014]

giúp mình với

[Hoang Nhat Tuan]

Chứng minh rằng $A=x^{2}-xy+y^{2}-x-y+3>0$

$2A=2x^2-2xy+2y^2-2x-2y+6=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+4>0$

[Angel of Han Han]

Ta có:BDT cần chứng minh tương đương:

$2A= 2x^2-2xy+2y^2-2x-2y+6$

$\Leftrightarrow 2A=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+4\geqslant 4$

$\Leftrightarrow A\geqslant 2> 0$

Suy ra đmcp

 

[Nhok Tung]

A = $\frac{1}{2}[(x-y)^{2}+(y-1)^{2}+(x-1)^{2}+4]> 0$

[huykinhcan99]

Chứng minh rằng $A=x^{2}-xy+y^{2}-x-y+3>0$

 

Viết lại $A$ dưới dạng $$A=x^2-(y+1)x+y^2-y+3$$

 

Ta có một định lý cơ bản sau:

Định lý. Cho tam thức bậc hai $$f(x)=ax^2+bx+c$$

 

Khi đó, đặt $\Delta=b^2-4ac$. Nếu $\Delta<0$ thì $f(x)$ và $a$ cùng dấu

 

Chứng minh. Viết lại $f(x)$ dưới dạng

$$f(x)=\dfrac{1}{a}\left(a^2x^2+abx+\dfrac{b^2}{4}-\dfrac{b^2-4ac}{4}\right)$$

$$\Leftrightarrow a.f(x)=\left(ax+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{-\Delta}{4}$$

 

Dễ thấy vì $\Delta<0$ nên $\left(ax+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{-\Delta}{4}>0$

 

Khi đó $a.f(x)>0$, tức là $f(x)$ và $a$ cùng dấu. Định lý được chứng minh

 

Quay trở lại bài toán. Coi $A$ là một tam thức biến là $x$, tham số là $y$. Ta có

$$\Delta=(y+1)^2-4\left(y^2-y+3\right)=-3y^2+6y-11=-3\left(y-1\right)^2-8<0$$

Vậy, theo định lý của ta, ta có $A$ cùng dấu với $1$, tức là $A>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 26-06-2015 - 22:44

[O0NgocDuy0O]

Chứng minh rằng $A=x^{2}-xy+y^{2}-x-y+3>0$

$A=(x-\frac{y+1}{2})^{2}+\frac{3(y-1)^{2}}{4}+2>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 27-06-2015 - 09:20